CLXXXIX

a\S D'UNE CAVITÉ SPHÉRIQUE.

Quand la paroi extérieure n' existe pas, ou quand il s’agit de ré(iuilibre intérieur d’un milieu indéGiii, d'élasticité constante, entourant une cavité sphérique, dont la paroi, de rayon r,,, est soumise à des eli’orts, qui diffèrent d’un point à un autre de cette paroi ; la solution générale se simplifie par la disparition nécessaire de tous les termes contenant des puissances positives du ravon r : car la valeur r = 00 , appartient alors à des points du milieu, et ne doit pas donner des valeurs infinies, pour les forces élastiques qui correspondent à ces points.

Les termes des trois séries (>), introduites dans les intégrales, ne doivent donc plus contenir, chacun, que les constantes Les équations à la surface se réduisent

à trois, l’indice / étant exclusivement zéro. Les expressions générales des coefficients restent toujours les mêmes, mais, pour chaque couple des entiers (/, n), il n'y a plus que les six coefficients dont l’indice est zéro, et les six constantes correspondantes sont déterminées, par deux groupes de deux équations, etpardeuxé({uations à une seule incotinue, lesquelles donnent

/ (B", B) en'{K., L.),

] (D". ül) (3C.. -t.).

B' en L', ,

D' en jf', .

Les efforts exercés sur la paroi.de la cavité sphérique n’onl pas de relations nécessaires; car les éi]uations de condition (il) et (l'i) se rapportent au groupe de constantes qui a dû disparaitre, et le groupe restant n’indique aucune indétermination.

SUR LES COORnOSNÉES CURVILIGNES, ETC. SflJ

On remarquera, eu rapprochant la solution générale des deux solutions particulières qui précèdent, que, si les efToiis (X,, Orw,, P,) exercés sur la surface delà sphère pleine, de rayon r^, et ceux ( — Xj, — ^oi — Go) exercés sur la paroi de la cavité sphérique, de rayon r,, sont les memes que ceux respectivement exercés sur les parois, intérieure et extérieure, de rayons r, et r^, de l’enveloppe sphérique; les deux groupes des coeflicients (K,, DC,,...), qu’ils soient séparés ou réunis, conserveront exactement les mêmes va leurs numéri(|ucs.

Mais, il ne s’ensuit pas que les séries qui expriment les forces élastiques et les déplacements du cas général, soient les sommes des séries correspondantes des deux ras particuliers : car, pour chaque couple des entiers (/, «), les douze constantes, réunies dans le tableau (i), seront trèsdilférentes de celles données, séparément, par les tableaux { ay ) et (28) ; quoiqu’elles soient toutes déterminées à l’aide des mêmes cocfGcients (K,-, Df, ■,...).

Pour compléter l’examen de la solution générale, il faudrait étudier successivement les termes les plus influents, ou ceux qui correspondent aux moindres valeurs des entiers (l, «), et faire ressortir les propriétés caractéristiques, et distinctes, de ces différents termes, desquels chacun {vouerait exister seul, si les fonctions introduites oti les efforts extérieurs se prêtaient à cet isolement. On devrait, aussi, considéi'er particulièrement le cas des enveloppes sphériques minces, ou dont l’épaisseur (/•, — r,) est une trèspetite fraction du rayon r,, ce i|ui permettrait de simplifier considérablement les séries finales. Enfin on pourrait citer un grand nombre d’applications Sj éciales et importantes. Mais nous passerons tout cela sous silence. Une digression

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irop étendue, sur une question particulière de la théorie mathématique de l’élasticité, pourrait donner quelque apparence de raison, à ceux qui ne veulent voir, dans la grande généralité de cette théorie, qu’une complication inextricable, et qui préfèrent et prônent des procédés hybrides, mianalytiques et mi-empiriques, ne servant qu'à masquer les abords de la véritable science.

SI n LES COORDOW JltfiS CUnVILlGMCS, ETC.