XII

PARAMÈTRRS DIFFÉRENTIELS i, f>,.

L’objet principal de cette leçon est c\e résoudre complètement la question posée au § IV, c’est-à-dire de reconnaitre les éléments caractéris|.iqucs , et indépendants des systèmes de coordonnées, qui g^fe^liennent aux fonctions.-de-point. Une première âgl|jv|a déjà rendu trèsprobable qUe ces éléments ne spjM^àutres que les deux paramètres dilTércntiels , définis à l’aide des coordonnées rectilignes. 11 s’agit de constater que ces paramètres ronserventTemème caractère et la même indépendance, quand les fonctions-(le-point sont exprimées en coordonnées curvilignes.

Il est d’abord nécessaire de cbercher quelles sont les expressions des paramètres différentiels du secoud ordre des coordonnées p, elles-mêmes. On y parvient en achevant la substitution, interrompue au § VI, des cosinus (3) aux (m,-, n,-, p.) de la feuille A. Les dernières formules (lo) , (il), (ta) de cette feuille, donnent alors neuf é((ualionfs nouvelles, parmi lesquelles se trouvent les deux

suivaiilcs :

LEÇont

€l P II

dx //, /i,

do,ilf, dçi,dfij\

dz dy dy dz I

j '^l> /rffi</p, df,dt~\ ' dy A, A, \<lx dz dz dx /

ï'igalant la dérivée en y de la première ( i8), à la dérivée ♦ en X de la seconde, pour exprimer l’inté;;rabililé de la Coni'tion 0 , on a d’abord

I df>, dp, dp, dp,\ h,t

\ dz dy dy dz I d-i

h / fOp, dp, dp, (P p, d’ p, d p, dp, d* p, \

II, II, \ dz dy dy dz dy’' dy’ dz dy dz dy )

{dp, dp,

' dx dz

dp, dp,\ h, h, dz dx J dx

h id'p,dp, dp, cPp, (P p,

li,h,\dx’ dz dx dzdx dz dx dx

I dp, dp,rPp,\

^lô-~"dzd^ ) '

ajoutant et retramdiant certains termes, faciles <à deviner, faisant une quadruple application du tbéorcme (9), et emplovani le symbole A, pour les paramètres düTérenliels du second ordre, on met l’équation précédente sous la forme

âtâ;