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SIMPLinCATION RÉSULTANT DES A,o,= o.

Lorsqu’un système orthogonal comprend une famille de surfaces isothermes, on peut prendre pour la coordonnci' p qui lui correspond , son paramètre thermométritjue ; alors

SUR LES CUOROORNÉES'cURVILieNES, ETC.

A, P = O, et d'apres la première (aa) ,

c’est-à-dire que le rapport ne varie pas avec p. Il en

résulte une simplification dans la formule (a6), car le premier terme du second membre, qui est

^ h ^ h, h, dp

devient, toute réduction faite,

Tp’

Et, si le système orthogonal est formé par trois familles de surfaces isothermes, adoptant leurs paramètres thermométriques pour coordonnées, on a définitivement

formule analogue à celle (a4), et tout aussi simple.

Les trois systèmes classiques de coordonnées rentrent dans ce dernier cas : chacun d’eux est formé par trois familles de surfaces isothermes; et quoique l’on ne prenne pas , pour toutes ces familles , leurs paramètres thermométriques, la triple simplifieatioin de la formule (36), toute masquée qu’elle soit, conserve son influence. C'est à elle que l’on doit, sans aucun doute, d’avoir pu traiter, depuis longtemps , dans les diverses branches de la physique mathématique, un petit nombre de corps , limités par des plans, des sphères, ou des cylindres droits. Là , quand on est obligé de se servir d’un système de coordonnées,

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pour lç(|iiel cotte triple slmpliiicalion it'est pas possible, un est imoiédiateinciit arrêté par des difficultés d'intégration', f|ui paraissent' insurmontables.

Lorsque l’une des. trois familles de surfaces, d'un système orthogonal, se compose de plans parallèles, au paramètre .pi = s, on a-

J.es doux, autres familles de surfaces sont cylindriques; ou bien, les fpnetions-de-point o et p, donnent un système de* courbes orthogonales sur le- plan des bases de ces cylindres ; leurs paramètres difl'érentiols du premier ordre h, h, sont indépendants de z, et ceux du second ordre sont donnés par les relations

diogi

rfp ’

dlog^

d'après les formules (ai). Or, ces relations conduisent, par (lifTérentiation, à l’équation

dù, dç, ’

d’où résulte la conséquence survante.

Si le premier terme de cette éc[uation (38) est nul, il en sera de même du second. Ou bien, si le rapport ne dépend que de p, le ra])porl ^^‘.ne dépendra que de p,. On eiilin, d’après le § XX, si la famille de cylindres, ou de

su K LES CO0llDON^ÉES CURVILIGNES, ETC. 35

tourbes, au paramètre p, est isollicrrae, telle au paramètre Pi le sera nécessairement : l'une ne peut pas l’ètre sans l’autre. Quand cette circonstance se présente, le système orthogonal', complété par la famille de plans parallèles, est triplement isotherme, et l’on peut l’appeler simplement système cylindrique isotherme , les deux épithètes concentrant toute la déhnition.

Comme on le verra, le nombre des. systèmes cylindriques isothermes est infini, et la triple simplification de la formule (36) leur est à tous applicable. Aussi, peut-on résoudre, dans la théorie analytique de la chaleur, une de scs principales questions, sur tous les prismes curvilignes re<'tangles, dont les faces latérales sont des eviindres isothermes. Et si l’on adopte essentiellement, pour variables, leurs paramètres thermométriques, la formule qui exprime numériquement la loi intégrale cherchée, est absolument la môme pour tous ces prismes, quels que soient les systèmes cylindriques isothermes que l’on considère. Cette formule possède, en quelque sorte, la même généralité ijuc l'étjualion qui exprime la loi différentielle. Concordance bien rare, sinon unique, dans les diverses branches de la physique mathématique.

Hors de lè, dans les systèmes orthogonaux non cylindriques, lorsque deux des trois familles de surfaces conjuguées sont isothermes, la troisième ne l’est pas nécessairement. Alors, la triple simplication de la formule (36) devenant beaucoup moins frétjuente, il faut recourir à d’autres 'procédés pour obtenir des formules intégrales, possédant une généralité analogue à celle qui vient d’être définie.

Quoi qu’il en soit, les considérations précédentes signalent clairement, et l’importance analytique des familles de surfaces isothermes ou des fonctions-de-point dont l’aug-

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ment est nul, et la nécessité d’adopter pour variables leurs paramètres ihermométriques. Tel est le but que nous nous sommes proposé dans les trois derniers paragraphes.