UGNES DE COURBURE DES SURFACES

Proposons-nous de déterminer les lignes et les rayons de courbure des surfaces orthogonales conjuguées. Considérons particulièrement une surface p; (r, y, z) étant les coordonnées d’un de ses points M, «') celles du point M',

situé sur la normale en M, et centre d'une des courbures dont le rayon est R, on aura

car les trois premières fractions sont égales entre elles, d’après les équations de la normale; et l’on obtient encore le même rapport, en additionnant les carrés des numérateurs de ces trois fractions, puis ceux de leurs dénominateurs, et divisant, l’une par l’autre, les racines carrées de ces deux

sommes; cc qui donne la fraction

Soit M, un point inliniment voisin de M , et situé .sur la

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ligne (le courbure corresptondante au rayon R ; el soient (x + â,x, y-i- âijr, Z -h â^z) ses coordonnées. Les termes (a/, y, a', R) du groupe (i) ne devront pas changer, lorsqu’on y substituera les coordonnées de M, à celles de M. C'est-à-dire que l’on doit pouvoir regarder (x', z', R)

comme des constantes, quand on diilérentiera , en d, , les rapports égaux (i), ou mieux, les logarithmes de ces rapports , ce qui donnera

ou bien, égalant séparément chacun des trois premiers membres au quatrième , et ayant égard aux égalités ( i ), on aura le groupe suivant :

l ' d.r ~ h dx

j ' rt[r h dy

I i rfp rfp

' ' rfi ~ A dz

Par un procédé fréquemment ('mployé, on fcia disparaître les coeflicionts et en ajouiaiit lesérjuations (3),

(lù

fi 0

j dx.

dz

x-‘il

l dy '

fix

SUK LES COORDQMlléES CIHVILICSES, ETC. 3p

respeclivcnicni nui lii pliées, par les fadeurs binômes

(|ue l’on peut égaler à une même quantité ). , multipliée par les difl'érentiellcs nouvelles ( d, x, dty, èjz), signalant, dans le voisinage de M , un autre point M, , qui sert en quelque sorte d’intermédiaire, et dont les coordonnées s6nt (x + â,x, j -h izy, z -h â,z).

Or les valeurs (4), deux fois additionnées, après les avoir respectivement multipliées, la première fois par

th , rfp, f/o,

-i- OiJ- -+--y- J,/ -t- J, 1 = 0, tlx tljr «1 .

à,x 3-,x iiX -y- à, Z 3,z = o.

La première de ees relations montre que le point Mt est situé sur le plan tangent à la surface p en M, la seconde que les deux directions MM,, MM,, sont perpendiculaires entre elles. Donc, si le point M, est situé sur une des deux lignes de courbure, le point M, se trouvera sur l'autre.

Si l’on additionne maintenant les étpiatious (3), respectivement multipliées parles facteurs (4) simplifiés', on aura

S,x.S,^-ht,j^.3,^ -t- 3i~^- = O-,

fix dr dz

relation qui exprime la condition, nécessaire et suffisante, pour (pie la direction correspondante .à une variation taiipeiitielle d, soit celle d’une ligne de courbure; la variation

LECO«S

i,, pareillement tangcntielle, s’ojM’raiil dans une direction j>crpendiculaire à la première.