XXIV

THÉORÈME DE M. DÜPIN.

Faisons subir cette épreuve à la direction dp,, de la normale à la surface p, (pii passe en M, laquelle direction est nécessairement tangentielle, puisque les surfaces conjuguéiîs sont orthogonales. Si la variation â, correspond à la direction dp,, la variation 0, correspondra à la direction dp,, ou à celle de la normale à la surface p, qui passe en M. On prendra donc.

du

du

du

dp,

dp,,

S,a = — dp,=z ^ dp,, dp, ‘ n, du

d’après la première (8), § VIII; et le premier membre, de l'équation (5) à vérifier, deviendra

rfp, dùi ^ d pj du

Or, cette (piantité est identiquement nulle, d’après le théorème (17), § XI. La condition ( 5 ) est donc satisfaite.

Ainsi la direction de dp,, et par suite celle de dp,, sont . celles des deux lignes de courbure de la surface p en M. D’où résulte, enfin, le théorème important, dû à M. Dupin, que, dans tout système orthogonal les surfaces de deux des familles conjuguées, tracent, sur une surjace de la troisième jamillc, toutes ses lignes de courbure.

■ SLR LES COOnDOlüNÉES CLRVILICMES, ETC.