XXV

EXPRESSION D’UN R.\YON DE œURBURE.

Procédons maintenant à la détermination du rayon de courbure R de la surface p, qui correspond à la ligne de courbure La nature actuelle de la variation â, donnera, outre la première ( 6 ), les valeurs suivantes :

0, n — — — aû, ,

«Pi

du > J

s,u = — dp, = -~de„

et la substitution de ces diverses valeurs concentrera le groupe (3) dans la formule

du i dh dp I h dp,

dp, h dp, du R ' A’ du

Or, il résulte du théorème ( la)^ § X, que

dp.

I dh dp

h dp, du

h dh, h dp, h, dp- ' h\ du '

l'identité nécessaire des deux valeurs ( 7 ) et ( 8 ) exige donc que

I h dh,

R h, dp'

et telle est la valeur de la courbure cherchée.

Si l’on désigne par le rayon de courbure de la surface /), qui correspond k la seconde direction fl p„ on aura, de la même manière,

I h dh,

tli h, dp

4’i LEÇONS

L’équalion (21) du ^ Xlil, laquelle peut se mettre sous la forme

devient. j>ar la substitution des valeurs (y) et ( 10),

expression remarquable de la somme des deux courbures de la surface jO, ou de sa courbure sphérique, d’après Gauss.