C11.^NGEMENT DE PAR.\MÈTRE

Observotis ici que le paramèti'e p d'une famille de surfaces n’a rien d’essentiel, car il pourrait être remplacé par une quelconque de ses fonctions

puisque, si p reste constant sur chaque surface individuelle, il eu sera de même de t. Soit désigné par i) le paramètre différentiel du premier ordre de e, h étant toujours celui de p. L’élément fis de la normale à la surface p ou e, c’est-àdire l’épaisseur, au pa.int que l’on considère, de la couche comprise entre deux surfaces inlinimcht voisines, admettra la double expression

d'après la formule (7), §M 1 . De même, la courbure sphérique ( 1 1 ) de la surface p ou t, pourra s’expi irner des deux manières suivantes :•

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car celte courbure sphérique, aussi bien que l’épaisseur ds, sont des éléments géométriques, complètement indépendants du choix que l’on peut faire, parmi tous les paramètres également admissibles. Ainsi, quelle que soit la fonction f ( la), oii doit avoir identiquement

I i rf P

^ ^ I dj) A,i dA A, P

\di Y) dp A

La vériGcation analytique de ces identités est d'ailleurs facile. Si l’on désigne par f', f", les premières dérivées de f, l’équation (12) donne

(16) dt= P dp,

quelle que soit la variable indépendante; et," si cette variable est une coordonnée rectiligne «, on aura, par deux différentiations successives,

L’élévation au carré de la première (17), et la sommation conduisent à

or, rélimination de f' entre (i6) et ( 18), donne la première identité ( i 5 ).

La dérivée de >1 (18) par rapport à p, est

il = r^ + rA,

d P do

et si l'on divise cette é<|uation parf', en remplaçant aiidé-

44 LEÇONS

iiominatcur du premier membre f'dp par dt, il vient

dr, dh f" ^ ^ = +

D un autre rôté, la sommation ^ delà seconde (17), don ne

4 • A, £ = Ajp /i’,

Ci divisant celte i^juation par relie ( i8), membre à membre, on a

Or, l’élimination du rapport P entre (19) et (au), donne la seconde des identités ( i 5 ).