SIGNE DUNE COURBURE

La simplicité des expressions (9) et ( 10), des courbures des surfaces orthogonales, invite à chercher leur démonstration directe, et en quelque sorte géométrique. On y parvient aisément^ maison rencontre une ambiguïté de signe, sur laquelle la géométrie pure resterait muette, et que l’analyse peut seule écarter.

Lorsque, dans une famille de surfaces, on mène une normale en un point de l’une d’elles, celle normale peut être considérée comme ayant, sa partie positive du côté où le paramètre de la famille augmente, sa partie négative du

côté où cc paramètre diminue. Cela posé, la courbtire

sera positive, ou négative, suivant que son centre sera situé sur la partie positive, ou sur la partie négative, de la normale. Tel est le principe qu’il s’agit d'établir.

En admettant d’abonl ce principe, on retrouve l’expression (9) de la manière suivante. Soient, au point M. les

si . y®

SL'H LES COORDONNÉES CLRVIUGNES, ETC. 4j

aies MS, MS,, MS,, normaux aux surfaces onliosonales, et dirigés suivant les directions où leurs paramètres vont

en augmentant; C le centre de la courbure situé sur la

partie positive de la normale à la surface, laquelle normale est tangente à l’are s en M; M, mi point infiniment voisin

de M, et situe sur s,. L,’arc MM, appartiendra au cercle dont le centre est en C, et dont le rayon est R; sa grandeur aura pour expression

Au point N situé à la distance r/s de M, sur l'arc s, on

sur la normale MC, menons l’arc de cercle PNIN,, décrit de

C comme centre avec CN pour rayon, et menons NlP parallèle à M,C. Les triangles PMN, MCM,, sont semblables; d’où résulte la proportion

f/s PN

Si â indique K variation d'une quantité, lorsqu’on passe de M à N,. PN sera égal à — à.ds,, car ds, ayant diminué dans ce passage, sa v ariation est négative, et l’on doit conséquemment changer son signe, pour en faire l’éléinent, essentiellement positif, d'une proportion. On aura donc

Or, si l’on prend la variation d de l’éfjnalion (ai), ou mieux, des logarithmes de ses deux membres, rlp, restant invariable, on aura

3,dsi S/f, I f//i, ^

ds, A, A, dù

48 LEÇONS

d’où résulte définitivement

I I dh^ df h dhi

R h, df dt A I df ’

ou l’expression (9).

Supposons, maintenant, le cas où le centre C est situé sur la partie négative de I9 normale. Si l’on conservait le ravon R positif, la même' consirürlion, les mêmes lettres,

et la même similitude de triangles, conduiraient encore à la proportion

^ PN r" ~

mais ici la variation d. ds^ étant positive, on prendrai t consétjueminent PiN = d.ds,, et on arriverait, en poursuivant le même procédé, à

I h dhi

au lieu de l'expression (9). Il fautdonc que, dans ce dernier cas, le rayon R soit regardé comme étant négatif. Ce qui justifie, et même nécessite, le principe posé.

stir. I.ES COORDONnÉES CORVILICNES, ETC. 49