XXXV

EXPRESSIONS NOUVELLES DES SIX œURBURES.

Les si\ courbures d(« surfaces orthogonales, que le groupe (24), § XXX, donne au moyen des paramètres différentiels h,, p<'uvent aussi s’exprimer à l’aide des fonctions

Eu effet, la formule (i 4 )î S suppression'de

l'indice, donne

iJn I frih <lf, (i/i rlp, tlh </p,\

^ dù h yrfp du dp, du dp, du /

I do, t d a, h, du ' A, dx ’

et faisant à chaque fois la sommation on a, d’après les relations (2) et ( 4 ) du ^ VI,

multipliant successivement cette équation par

(1 bis)

1 O dp, h, ^ du

d p, du du dp

h, ^ h dp,

h, dh h dp.

En opérant de la même manière sur la formule (14), ^ X, prise avec / = 1. et ensuite avec / = 2, on coniplèle le tableau suivant ;

Sun Lts COOnOOMNÉES Cl'RVILlGNKS, ETC.

I 1 O </pi (tu

r, /i, ^ du do

I dlP;

I I ^ dfi, du

1 r’ /Jt ^ du dp,

dp ’

dp.

r, h, O du

àit

* du

dp, '

dp,

OÙ les six courbures {'éomctriques des surfaces orlhogonales sont ranges , de telle sorte que les courbures conjuguées en arc se trouvent sur la même ligne.

On retrouve encore iei les courbures paramétriques,

quand on somme l’équation (i) multipliée par ^ gé-

néralement, quand on somme la formule (i4)> multipliée par J ce qui donne

h ^ du dù d^ r

d 'ih

(3) < I ^dp, du dh, ^ I

• 1 A, du dp, dp, ~ r\

I O dp, du dh, I

h, du dp, dp, r\ '

valeurs que l’on obtient d’ailleurs directement, en dillérentiant la formule (a), ^ VI, par rapport à c,.