PLAN OSCUUTEUR DE L’ARC

Cherchons maintenant les plans osculateurs, et les courbures propres des arcs 5,, normaux aux surfaces orthogonales. Le plan osculaleur de l’arc .1, sur lequel la coordon-

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née curviligne p varie seule, ayant une équation de la forme ( 9 ) Sa.(U-«) = o,

les trois constantes A„ doivent vérifier, 1“ l’équation qu’on obtient, en faisant varier les u parrap|K>rt k p dans l'équation (9), sans changer les U, et qui, en observant que

du \ dp •

dp A’ du '

d’après la formule (8), § VII, s’écrit ainsi (.0) §A.J=o;

2° l’équation qu’on obtient, en diflérentiant (10), Ipujours par rapport à p, et qui est

O du

Car, ces deux équations expriment que le plan (9), qui passe en M, passe aussi par un second point et par un troisième SC suivant immédiatement sur l’arc s.

('.es constantes seront donc proportionnelles aux valeurs

\ ^dp, i dp,

'~r,h,du r,h,du'""‘ '

qui annulent le premier membre de la formule (10), d’après les relations (4)j § M, et le premier membre de (1 1), d’après les valeurs du groupe (2). Le plan osculateur de l’arc s a donc pour é(|ualion

I I dp, r, h, du

, Le plan normal au même arc n'est autre que le plan tan-

sim l.ES COORDONNÉES CCmVlLICNES, ETC.

gent à la surface p, et son éi|^iialion est

Les deux équations (la) et (i3) représenicnt la normale principale.

§ XXXVIll.