COURBURE PROPRE DU MÊME ARC

Maintenant, si les U appartiennent au centre de la courbure propre de l'arc s, on doit pouvoir diiréreutier l’équation (i3) par rapport à p, sans changer ces U, ce qui donne

eiq fin

d’après les formules (8), § VII, et (a), § VI. Les projections (U — u) du rayon de courbure de l’arc s, rayon que nous désignerons par P , seront donc données par les trois équations précédentes.

On satisfait aux équations (la) et (i3), en prenant, avec le même coelBcicnt A, les trois valeurs

I ' 2. 'i?' h, du

r, h, du j •

qui annulent le premier membre de (i3), d’après les relations (4)> § ^ Ij le premier membre de (i a), d’après les formules (a), (4)i § 'Ij et les premières du groupe (a). En substituant ces valeurs (i5) dans l’équation (i4)i on a, encore d’après les premières (a).

équation qui détermine le coeflicient A. Enfin, ces mêmes

valeurs (i5) donnent

LFÇOWS

d’après les relations (a), (4)» § M, <*t l’équation (i6).

Ainsi,* le coeflicient k est égal à p’, et l’équation (i6) peut s’écrire ainsi

c’est-à-dire que le carré de la courbure propre de l'arc s est égal à la somme des carrés des deux courbures des surfaces orthogonales, qui sont conjuguées en cet arc s. Puisque k est égal à p*, les valeurs (i5) donnent

P r, ht du r, X, du

pour les cosinus des angles que p fait avec les d’où l’on déduit aisément

/ O U — U i dp, P

\ ^ P h, du r,'

( ao) <

J O U — « 1 rfp, P

f ^ P /i, du r, ’

pour les cosinus des angles (jue p fait avec les normales aüx surfaces p, et p,, ou avec les rayons r, et r,.

Soient tracés, sur le plan tangent à la surface p en M, les centres C, et C, des courbures

- et -,

lesquels points se trouvent respectivement sur les tangentes orthogonales aux arcs s, et s,, à des distances MC, et MC, égales à r, et r, . On s’assure facilement que la perpendiculairc AIP, abaissM; de M sur l’hypoténuse C, C,, représente.

stn LES coordonnées curvilignes, Etc. 65

en grandeur et en direction, le rayon de courbure p. En

clTet, soit MP = P, la figure donne P’ = PC-rë,,

développant et réduisant cette dernière relation, on a ô = r; r;-P’(r;-(-r;), équation que l’on peut écrire sous la forme

Donc P est égal à p (i8), et il a la même direction (ao), puisque

cos PMC, = î , r,

cos PMC: = - •

On peut donc dire que la courbure propre de l'arc s est

la résultante des deux courbures - • -> conjuguées en cet

arc; ou, inversement, que les deux courbures du système orthogonal , conjuguées en l'arc s, sont les composantes de la courbure propre de cet arc. On pouvait établir ccs divers théorèmes par des considérations, purement géomé.* triques ; mais les formules de leur démonstration analytique étaient nécessaires, car elles vont conduire à d’autres conséquences importantes.

(iü

I FCONS