XXXIX

rENTRKS DES C.OUUBL KES nfcSül.TANTES.

La ligne ou courbure résultanle § XXXVI, est située

clans le plan osculateur de l’arc s: car l'équailon (la) de ce plan est vérifiée par les valeurs

appartenant au point de cette ligne, situé à la distance q du point M qui est lui-même et sur la ligne et sur le plan.

On a, d’après la valeur (5), les groupes (i bis) et (.3), et l’équation ( 18 )

D’où il suit (jue, si l’on porte sur la tangente .n l’arc s, ou sur la normale à la surface p, une longueur MC égale à

on démontrera, comme plus haut, que la perpendiculaire MQ, abaissée de M sur l’hypoténuse PC, est égale au rayon q.

De plus, cette perpendiculaire a la direction de la ligne

-, laquelle direction n’est autre que celle de la normale au

plan représenté par l’équation (i 4 ), d’après les cosinus ( 6 ). En eflfet, ce plan (i4), normal au plan (ta) et passant en P,

va aussi passer par le point C, dont les coordonnées

I rfp I ,

Up/

vérifient son équation, d'après la première (3) ; il coiqie donc, perpendiculairement, le plan osculateur suivant la

ligne 1*C; et sa normale, ou la direction de -i n’est autre

que MQ. •

Ainsi, le point Q, déterminé par la construction précédente, est le centre de la courbure résultante -• Il faut re-

marquer que ce centre, toujours situé dans le plan osculateur de l’arc change de position, lorseju’on remplace le paramètre p par s = f (p), puisque la ligne MC n’a plus la

même grandeur ; ou, autrement, puisque la courbure -est

la résultante, de la courbure paramétrique, qui est changeante, et de la courbure propre de l’arc s , qui reste invariable.

RF.I.ATIONS DES COniBERES DES AUf'.S r .

Considérons à la fois les troiscourbnres des arcs s, ; soient Pi leurs rayons, on aura, par l’équation (|8) et scs homologues ,

68 * LEÇONS

Désignons pai' m le cosinus de (p, ,/?>), angle compris entre Pi et Pt, par m, celui de (p,, p), par m, celui de p,), cl par (n, n,, n,) les sinus des mômes angles. L’angle-plan (Pi, Pt) est opposé à un angle dièdre droit, dans l’angle trièdre dont la troisième arête est la normale h la surface p, lieu des rayons r' et r"; on a donc, par une formule counue,

cos{p„ p,)=cos{p„ r')cos(/i„ r"),

ou la première des valeurs homologues

PiP

^—PP'

/Wj — — -, •

Dans le carré m', qui est le produit de deux fractions, on peut substituer, à l'une ou à l’autre de ces fractions, sa valeur prise au groupe ( sa) ; on a ainsi

et, par des réductions empruntées au même groupe (aa), on arrive aux doubles valeurs

yp\

py

qui, multipliées par divers facteurs., et rapprochées des

carres

tiplos

où les

SUR LES COORDONWtES CURVILIGNES, ETC. 69

des m, ( 23 ), conduisent aisément aux égalités inul-

I ^ < = — '"î=^ n\ — m'=zT,

valeurs communes ^ et 9", sont les deux fraciioiis

\q"=PlPlPL.