XLII

APPl.It’.ATlON AU SYSTÈME SPHÉRIQUE.

Les formules établies dans cette leçon, et les théorèmes qu’on en déduit, conduiroutà des conséquences importantes, quand nous pourrons les appliquer à des systèmes orthogonaux complets, ou sans courbures nulles.Lesystèmesphéri«jue, qui est loin d’être dans ce cas, peut cependant fournir quelques vérifications, surtout lorsqu’il est exprimé par ses coordonnées thermoméiriqnes, qui .sont (§ XXXIII)

^ J cos O ‘ r

r étant la fonction -j œ et cos ® étant des fonctions de 0, .

;\v<;c CCS coordonnées, les h, ont les valeurs

/ros® / vosQ I

Sun I.US COOIIDONMÉF.S CU l( V I LIC NBS , KTC. Jl

Si l’on évalue les six courbures des surfaces conjuguées (a 4 ), § XXX, à l’aide de ces valeurs des h,, en observant

(jue^— = cos (f, et exprimant les résultats obtenus eu r et

9, on reproduit le tableau (a8), § XXXII, mais avec cette diÛërence, déjà signalée, que les deux dernières courbures s'y présentent positives, parce que le paramètre p, augmente quand on marche vers leur centre.

Les courbures paramétriques ne sont plus nullcs. Elles doivent être égales aux courbures sphériques des surfaces conjuguées, d'après le premier corollaire du § XXXI ; on trouve, en effet ,

M dA, tang ^ dh, 2

dp ’ dp, r * dp, r

Les formules (aa), § XL, donnent pour les courbures propres des arcs s, ,

d'où

P ^ r cos f

P rcosf^

d'où

ce qui devait être.

Les courbures résultantes -i- sont, en employant une 110’- 'h •

tatioii introduite dans le nouvel enseignement de la mécanique, .

dh I

^3 LEÇOBS

Le centre de courbure Qt est au milieu du rayon r, sur lapartie actuellement positive de la normale à la sphère. Le centre Q est celui du petit eercle parallèle à l’équateur. Et le centre Qi se confond avec Q, puisqu’on appliquant la construction du § XXXIX, le point P est le centre même du système sphérique, le point C celui de la courbure du cône de latitude, et que, conséquemment, l'hypoténuse PC. se confond avec l’axe polaire.

Ainsi, les deux courbures résultantes - et — sont égales

et ont le même centre. Mais, malgré cette superposition, chacune d’elles conserve sa propriété caractéristique. La

courbure résultante- = >relativeàlasurfacep, donne;

q rcosq ‘

par sa projection sur la normale à p, la courbure paramétrique ou sphérique du plan méridien , qui est nulle \ 2 ° par sa projection sur la normale à p,, la courbure du cône de latitude; 3° par sa projection sur la normale à pt, une première courbure de la sphère. La courbure résultante — = — î — > relative à la surface p,, donne: i° par sa q, rcosq ‘

projection sur la normale à p,, la courbure paramétrique ou sphérique du cône de latitude; 2 ® par sa projection sur le rayon, la seconde courbure de la sphère; 3® par sa projection sur la perpendiculaire au méridien, une de scs courbures nulles.

SÜll LES COOnUONNÉES CIBVILIOÙES, ETC.