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do, ' H dp dV , I
ÏÏ ~d e'
SLR LES COORDONNÉES Cl! R V IMCN ES, ETC. jS
En parlant des dérivées des fondions -j -, -~i on obtient ,
de la même manière, relies des cosinus U,, U,; ee ([ui donne en tout neuf équations ; trois d’entre elles ont trois iiTines, et la première (4) fait partie de ce groupe; les six autres n’ont que deux termes, cl sont comprises dans la formule générale
doj ‘ H, dfi '
où les indices /et y sont essentiellement différents.
Cela posé, différentiant la seconde des va leurs (4) par rapport à js,, et la troisième par rapport à p, , on aura deux valeurs de
rf'U
//p, rfp/
lesquelles doivent être égales, en vertu de rinlégrabililé de la fonction U. (ie qui donne d’abord
I rfH,
H rfs I f/n, r/i:,
d a-i U dù lia,
, 1 rfu.
— U ^ ^ 1 ÎÜL’ IH;
dft
Il dù dp,
et ensuite par la substitution des valeurs des dérivées
dV,
dp,
dp, '
J déduites de la formule (5),
, I d», ‘h dp dp,
^ d^ I ^/H, H| </p, H dù
H, dp. Il dp
Or, la direciioii fixe de la coordonnée rei lilignc u est arbi-
Iraire. Par exemple;, elle pourrait eUrc, ou parallèle au plan tangent de la surface o,, et alprs U, serait zéro, ou parallèle au plan tangent de la surface p,, ce qui annulerait Ui. En un mot, U, et U, ii’onl aucune relation nécessaire. L’équation (6) doit donc être satisfaite, quel que soit le rapport de ces deux cosinus. C’est-à-dire que les coefficients de U,, dans les deux membres, doivent être égaux, ainsi que ceux de U,; ces coefficients étant complé"temeut indépendants de la direction de u.
On a donc séparément les deux premières équations du groupe
-.J I f/H, ^ I rfH,
Il dp
1 rfH, 1 rfH,
~iT,
dp, H
dp'
dp,
H| dp, H rfp ’
Id-i ^
)< H, dp,
rfH, I
rfH
U, dp.
I d\\ I dH,
'Zp ïîT
dp, '
dp,
H, dp, H| dp, '
Id-l-lü
t rfH,
1 Hj dp.
dl\ 1
dll,
“h, dp.
1 rfll, 1 rfU
dp.
If,'
rlp
""H dp t/p,’
les quatre autres se déduiraient, de la même manière, de l’égalité des deux valeurs
de
rf’LT, dp, fi P
de
dp dp,
On reconnaît aisément que le développement des six équations (7) n’eu donne que trois qui soient distinctes, et (jue voici :
z/Ml
dü, ^
1 </ll f/H,
dp, dp.
ïï;
dp, d p,
H, dp, dp, ’
rf’H,
dp, dp
ïH
dp, dp
H dp dp,'
rf’U.
dp dp.
dp dp,
H, dp, dp
