IL

H, do, r\ '

I rfH H

H, dp, ~ r.

I rfH, H,

H ’7ïf~~P '

I dH H

H, dp, r, '

H, dp, ~ r\

Celte préparation faite, la prcmièreé-qualion du groupe (j?) devient successi veulent, à l’aide des valeurs (i3),*

dp.

et divisant par H, H,, remplaçant H, dp,, par ds,, on a la première des six relations suivantes ;

les cinq autres traduisent, de la même manière, le reste du groupe (7).

Toujours à l'aide des valeurs (i3) la troisième du

SM; l.ES COOKI)ON^ÿ.l;S ClnVILIONES, ETC.

^loupe (y) devient successivement

r“ fi P,

flo.

cl divisant encore par H, H», remplaçant H, dp, par ds,, H, c/p, par dsf , on a la première des trois relations

les deux autres traduisent, de la même manière, le reste du groupe (y) , pris dans un ordre inverse.

Rappelons maintenant les dénominations introduites au § XXIX; remarquons que le plan d'une courbure est relui du cercle osculateur; enfin, appelons variation d'une quantité suivant une certaine ligne, la limite du rapport de l’acrrois.sement de celte quantité à l’arc parcouru sur la ligne. Avec ces conventions on peut énoncer ainsi qu’il suit, et en quelque sorte géométriquement, tous les résultats qui précèdent.

Les six relations (i4) sont comprises dans cette première loi : La variation d’une courbure , suivant l’arc normal à son plan, est égale au produit de su conjuguée en arc, par son excès sur sa conjuguée en surface. Les trois relations (i5) sont comprises dans cette seconde loi ; Ix produit

8 a i.KçoNs

des deux courbures d'une meme surface , augmenté de la somme des carres de leurs conjuguées en arc , est égal à la somme des variations de ces deux dernières courbures , suivant leurs arcs réciproques.

§ XLVIl.

LOIS SLXONDAinES.

Ces (leux lois sont seules distinctes et lu'-ccssaires. Elles expriment coniplétemcnt les conditions g(‘ométriqucs, imposées aux variations des courbures par rorlliogonalité constante des trois familles de surfaces conjuguées. Les autres lois, que l’on pourrait déduire de la considération des infiniment petits, ne pourraient t:tre que des corollaires des deux précédentes, comme celles qui ne feraient qu’énoncer les relations déduites, par toutes les combinaisons imaginables, des groupes (i4) et (i 5 ).

Dans les rix-hercbes de cette nature, la méthode purement géométriijuc est sans contredit fort élé-gante, mais elle a le désavantage de laisser ignorer la liaison qui existe entre les différentes lois que l’oii découv re ainsi, de ne pouvoir assigner celles qui sont primitives et celles qui ne sont que secondaires, de n’indiquer aucune Hiiiitc où l'on doive s’arrêter. Tandis que la méthode analytique, moins attrayante, répond d’une manière précise à toutes ces questions.

• Les équations (lo) et (i i), déduites des groupes (7) et (9), peuvent aussi s’exprimer à l’aide des courbures et de leurs variations. Mais, au lieu de les transformer à l’aide des valeurs (i 3 ), il est plus simple de chercher directement leur traduction, par la combinaison correspondante des relations (i4) et (i 5 ).

On constate aisément, d’après le groupe (i 4 )) l égalité des quatre expressions suivantes :

SUR LES COOI'.nOKMtES CU R V ILKi S ES, ETC.

laquelle n’est autre quecelle indiquée par les équations (lo), et qui établit cette double loi ; Si l’on multiplie la somme des courbures de chaque surface par le produit de leurs conjuguées en arc, et qu’on retranche ensuite la variation de ce dernier produit suivant II arc normal à la surface, on aura trois différences, lesquelles sont égales entre elles Depl us : Si l’on forme le produit des trois premières courbures (îT' TT" S" M celui des trois secondes ( — . — . -LV

\R R' Ri/ \a a, A,y

§ XXIX, la somme des deux produits, ainsi obtenus, sera la valeur commune des différences précédentes. On remarquera que ce partage des six rajons de courbure en deux groupes (r'r* r,, et d' r, r\), est le seul pour lequel les trois rayons de chaque groupe sont orthogonaux, ou forment les trois côtés d’un parallélipipède rectangle.

Si l’on désigne la courbure sphérique de la surface pai'

on déduit, sans peine, de la combinaison des trois relations (i 5), l’égalité

la(|m'llc ii’fst aulro que celle indiquée par l'équalion (i i), ei qui établit cette loi : Si, tlu carré de la courbure sphérique de chaque surface coordonnée , on retranche la 'variation de cette courbure sphérique suivant l’arc normal à la surface, on aura trois différences , dont la somme sera égale à celle des trois produits qu'on obtient, en multipliant l'une par l'autre les deux courbures de chaque surface.

Plusieurs autres combinaisons, qui se présentent naturellement, surtout à rinspcction du groupe (i4)ï conduisent h d'autres luis secondaires, plus ou moins simples, que l’on énonc-eraii d’une manière analogue. Nous les passons sous silence, car leur source commune étant maintenant bien connue, les reproduirait imn\édiatcment s'il en était besoin.

§ KLVlll.

SYSTÈMES CYL1.NDRIQUES.

Pour r<-ndre encore plus précise l'interprctation des relations (i4) et (i5), appliquons-les aux systèmes orthogonaux, cylindriques et coniques, qui, quoicjue les plus simples, ont encore une grande généralité.

Dans les systèmes cylindriques orlliogonaux, une des familles, celle au |»aramèire p,, étant composée de plans parallèles, ses deux courbures sont milles partout ; on a donc

De plus l’arc î,, normal à ces surfaces planes, étant une ligne droite, dans toute sou étendue, les deux courbures conjuguées en cet arc sont pareillement milles; on a donc encore

Sun LFS COORDONSÉES C.V R V 1 1.ION ES, ETC.

Il ne reste plus que les deux courbures réciproques et — -

La première est la courbure du cylindre au paramètre p, et ■SOU arc est i, ; la seconde est la courbure du cylindre au paramètre pt, et son arc est s. Elles sont aussi les courbures propres de leurs arcs; ou, autrement, r, et r' sont respectivement les deux rayons de courbure des deux trajectoires planes et orthogonales 5 et s,.

Par la substitution des valeurs (19) et (20), le groupe (i 4 ) donne quatre identités, et les deux relations

lesquelles indiquent que les courbures <les arcs s, et s ne changent pas, quand on s’élève sur l’arète commune à deux cylindres p et p, ; ce qui est évident. Par la même substitution, le groupe (i 5 ) donne deux identités, et la relation

laquelle exprime cette loi : Lu somme des variations des deux courbures cylindriques suivant leurs arcs réciproques, est égale à la somme des carrés de ces courbures mt^mes.

Le système habituel des coordonnées jwlaires planes n’est qu’un système cylindrique particulier. Alors, la famille de cylindres au paramètre p, se composant de plans méridiens, sa courbure est nulle; on a donc encore

la famille au paramètre p se composant de cylindres droits concentriques, dont nous dé.signerons le rayon par y (■=. p), sa courbure est celle du cercle de rayon y, mais prise néga-

8(i I.EÇO.\b

livi-iuL-iii WMll); on a donc

Avec ces valeurs parliculières, l’équalion (ai), où l’on remplace ds par dy, se réduit à l'identitc

Ce qui complète une première vérification des groupes (i4) et (i5).

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