SYSTÈMES CONIQUES

Dans les systèmes coniques orthogouaux, une des familles, celle au paramètre p,, étant composée de sphères concentriques, dont nous désignerons le rayon par y (= p,), ses deux courbures sont égales entre elles, et à celle d'un grand cercle de la sphère, mais prise négativemept; on a donc

De plus, l'arc s, normal aux sphères étant une ligne droite, dans toute son étendue, les deux courbures conjuguées en cet arc sont milles partout; d’où

la3)

Des deux courbures réciproques p, - , qui restent à définir,

la première est la courbure du cône au jiaraniètrc p, et son arc est ; la seconde est la courbure du cône au paramètre pi, et son arc est s.

SI U LKS OOORDO.NWEIÎS (.1 HV U lOtttS, HH..

Ici, le.s (leux courbures propres - el - des arcs s el i,, ou * ^ P P>

des irajecloii es sphériques orlhogonalcs, ne sont pas lepréseiilées par - et elles soûl données par les relations

d’après les formules (aa), § XL.

Par la subsliiution''dcs valeurs (aa) et (a3), les relations (i4) devieniA.'nt, en remplaçant r/5,-parr/^,

(iy

La deuxième el la troisième sont identiques. Les deux dernières disent, ce qui est, que la courbure d’une sphère est la même eu tous ses points. Par une intégration facile, la première et la quatrième expriment cette loi, que les rayons des courbures couiques r' et r, varient comme le rayon y, quand ou s’élève sur l’arète commune à deux cônes p et p, -, d’après les relations (a4), la même loi s’éteud aux rayons P et Pi ; celle loi est d’ailleurs évidente. Des trois relations (i5), les deux premières se réduisent à l’identité

la Iroisièiiie devient

LEÇOKS

(is

et exprime la loi qui régit les variations des courbures des eônes p, et p suivant leurs arcs réciproques.

Le système habituel des coordonnées spbéri(|ucs n’est qu’un système conique particulier. Alors, la famille de cônes, au paramètre p, devient celle des plans méridiens, dont la longitude est i{;( = p), et sa courbure étant nulle partout, on a

La famille au paramètre p, est celle des cônes de latitude If (= p,); sa courbure, qui est positive, a pour expression

I Uing <p ~ 7

Avec ces valeurs particulières, l’équation (aS), où l’on remplace ds, par 7 </®, et que l'on multiplie ensuite par •/*, se nyuit définitivement k l’identité

tang’f =

H tang e (It^

Ce qui complète une seconde vérification des groupes (l4) et (.5).

f-OUATlONS KN «; // fXANT j. 01 r, Ol’

Pour acbever, ici, la théorie générale des systèmes orthogonaux, établissons ses dernières formules. Toute coordonnée rectiligne u est une fonction des coordonnées curvilignes (p, p,, Pt)- Celle fonction vérifie plusieurs équations

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SUR LES COORDONNÉES CURVIUCriES, ETC. 8l)

aux didérc^nces parlielles, qu’il importe de coiiiiailre, car elles entrent comme parties essentielles dans diverses (picstions.

I>a seconde des formules (8), § Mil, donnant du dp,- du dpj

si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (ii), ^ IX, cette é<[uation devient

(rf) dj;ÿ.

ou bien, en la développant et réduisant.

{Pu

Hhi du I dh, du

^ doidfij hi dpj dfi h J dpi dpj

formule qui comprend les trois équations suivantes ;

</’a t dh, du I ilhjdu

t dh, du

dp, dp, h, dp, dp, h, dp, dp,

d’u I dh,du I dh du

dp, dp h, dp dp, hdù, dp d‘‘u I il h du I ,dh, du

dp dp, h dp, dp h, dp dp.

La première des équations (5), § \ J, peut se mettre sous la forme

et puisque l’on a, d’après le groupe (8), ^ VIll,

//, du ' dp,

la fonction ii doit vérilier I cquation aux tlillérenccs par-