DÉRIVÉES DES FONCTIONS
l.'é(iualion (29), diirércnliéc par rapjwrl à p, donne
or. il lésulle de la troisième et de la deuxième (28), que d/l —
i/pi /i, rf/i Hu
du h dp, dp
snbslituaul ces valeurs dans l’équation précédente, elle de- • vient divisible par la dérivée et prend la forme
du
^ , dh du J , dh du
' dp, dp, ’ dp, dp,
son dévcloppeineiil conduit à la première du groupe suivant :
Sl'K I KS COOIU><>SS^;i;S i ViKVII.lC.NES, ETC. yi
<1- n I tlh (lu /i| (Ht du h\ (lit du
do’ h f/fl do h’ f/pi f/p, II' dp, dp,
d’ii I <//(, du h^, (Ut, du /(’ rf/f, du
rfp^ h, dp, dp, h' dp, dp, U‘ dp dp
d’u I dh, du h’ dh, du h\ dit, du .
\ dp] h, dp, dp, l’\d? dp h] dp, dp,
les deux autres s'établissent de la même manière, en dilVérentiaiit l’équation (29) par rapport à p,, puis par rapport à p,.
Les groupes (a8) et (. 3 o) donnent, à l’aide des trois dérivées partielles du premier ordre de la fonction u, les six dérivées du second ordre de la même foni'tion. Ils donneraient successivement, par dillérentiation et élimination, les dérivées des ordres supérieurs, tontes exprimées à l’aide des trois premières, et cela, par des équations du premier degré, quoicjue l’équation de départ (29) ne soit pas linéaire; fait digne d’ètre remarqué.
Si l’on ajoute les trois équations ( 3 o), respectivement imiltipliées par (/<’, //’, //j), le résultat peut s’écrire sons la forme
mettant le produit hh, /<,, ou cj, en facteur commun, réunissant les dérivées partielles de trois produits, v'omme ou l’a fait au ^ XIV, pour obtenir successivement les foi mules (y.fî) et (28) d<' ce paragraphe, réipialion (3i) de-
(Jo)
vient (léliiiilivfiiient
i.i;»:oAS
dfi
on A, M = O. C(! qui devait être, puis<|ue raugmenl de toiile eoordonnée rectiligne est identiquement nul.
Particulièrement, si le système orthogonal est triplement isotherme, et rapporté à ses coordonnées thcrmoméiricjues, il suit du § XXII que les trois dérivées logarithmiques disjîaraissent de l'équation (3i), laquelle le réduit à
ou encore A,u = o, d’après la formule simplifiée (36) du même § XXII. Ou a ainsi une double vérification des formules (3o), le.stjuelles sont importantes dans la théorie des coordonnées curvilignes.
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