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UKCHEHCHE D’UN SYSTÈME ORTHOGONAL.

Dès (|ue l’on se propose de irajler, dans les diverses branches de la physique inalhémalique, un corps de forme nouveUe, il faut procéder à la recherche d’un système de coordonnées, tel que la surface libre du corps, ou ses différentes parties pui.ssent être représentées par des valeurs constantes de ces coordonnées ; tel , en même temps , que l’on puisse intégrer les équations généritles transformées dans ce système, et déterminer les constantes arbitraires introduites ]>ar l’intégration, soit à l’aide de l’état initial, soit à l’aide des équations dites à la surface.

Or le système nouveau ne peut être obtenu que par l’inlégralion directe des équations aux dillérences partielles

(jui régissent les fonctions H, «u » en y adjoignant les

fl i

é<piations qui traduisent les conditions à remplir. Il importe donc d’indiquer comment peut s’elicetuer cette intégration. Je prendrai pour exemple la méthode qui m’a réellement conduit aux coordonnées elliptiques; coordonnées (juej’ai introduites synthétiquement dans les Leçons salles fonctions inverses.

y 4 LEroNS

.Ma!i;iv tous iiiivs cll'oi l.s pour âlilîi'i , ajuès ia.iiMiüsilc île «'Cite piemièro mélliodc, une aulre luélhoile <io rec lierclie (jui pût l'oiiduirc plus ra|)ideinciil aux résultats trouvés, je ne suis jamais parvenu à donner à cette dernière rapparenee eoinplètc d’un procédé d’invention. Je saisis l’occasion, qui SC présente si nalurellcincnl, d’exposer la première et la véritable méthode. Cette exposition suppose que le problème soit h résoudre; elle introduit sueccssiveineni les idées prirdilives et toutes les idées subséquentes ; elle analyse les diflicultés qui s’offrent à chaque pas, imaginelés procédés d’intégration qui doivent les surmonter. C’est, en cpielquc sorte, un exemple de la marche que suit tout géomètre, pour atteindre lebut(|u’il s’est proposé.

§ IdlI.

nECllERCIlK DU SYSTÈME ELLIPSOIDAL.

Il faut chercher un système de coordonnées <]ui permette de traiter directement relli|)soïde, dans la théorie analytique de la chaleur; de résoudre d’abord la plus simple des questions générales de cette théorie, ou de détormincr la température stationnaire V de,4 points intérieurs d’un solide homogène, limité par un ellipsoïde à trois axes inégaux, entretenu à des hmpératures fixes et connues, cpii dillèrenl d’un point à l’autre de cette surface.

L’ellipsoïde proposé doit faire partie de l’une des familles de surfaces conjuguées c,, eu sorte que si X est la valeur du paramètre pt q'ii correspondra, on puisse prendre l’équation à la -surface sous la forme

La fonction V doit vérifier l’é<]uation A,V = oqui, étant exprimée en p,-, § XH , se réduit, par la snpjn-ession du

stii I F.s to()ui>(>NM^:Es etc. yi)

racteur coiiiuiun à

h d\ ^ //, d\ I //, d\ /i,h, dp ^ h,/i dp, h fl, dp, dp dp, dp.

Les seuls sy.stèmes orthogonaux employés ju.^<|n’ici , ei qui ont permis de vaincre toutes les diflicultés que présente l’intégration de réipiation ( 2 ), sont, .sans exception, composés de trois familles de surfaces isothermes, tâi sorte que la triple simpliric'ition définie au § XXII leur est applicable. Tout porte donc à penser qu’on n'atteindra le but proposé, que si les trois familles du système ellipsoïdal sont isothermes.

Alors, ces trois familles étant rapportées .à leurs paramètres thcrniüinétriques, on aura essentiellement, ^ XXII,

dp

dp.

e’esl-à-dire (jue si l’on pose

/ étant une longueur constante cl les Q, sans dimension gcomélrique, § XXI , Q sera indépendant de , 0 , Q, de p, , Qt lie (généralement Q, de pi). Si l'on remplace les h,

par les les relations (4) deviennent