LOI D'UN SV’STÈME TRIPLEMENT ISOTHERME

Or le système ellipsoïdal que l’on cherche ne saurait comprendre une famille de plans, lesquels ne pourraient tracer, sur l'ellipsoïde à trois axes inégaux X, ses lignes de courbures qui ne sont pas planes. De plus, si les arcs j, ^ intersections des surfaces p et p, , étaient rectilignes, ces deux familles conjuguées ne seraient autres que les surfaces développables formées par les normales k l’cllipsoïde X; et l’on s’assure, sans grande difficulté, que les surfaces de ces deux familles ne sont pas isothermes. Donc aucune des six courbures ne devra être nulle, et il faut, pour cela, que les coefficients Q,’ soient complets; c’est-àdire que Q contienne p, et p,, que Q, contienne fi, et p, que Q, contienne p et p,.

Cela posé, lorsqu’on substitue dans le groupe (10), § XLV, les valeurs particulières ( 5 ) des H,-, on est conduit à une propriété caractéristique de tous les systèmes orthogonaux triplement isothermes, d’où résulte une conséquence importante pour la recherche actuelle. Le premier

1)8 i.ixo?(s

monbie «le la <|uadniple égaillé (lo), ^ XL\ , peut être mis sous la forme

^/rflogHi ^/logH \

01 ’, avec les valeurs particulières (5), lli ne varie avec p ei H avec p, , que par leur facleur coininun Q.. [/expression préeédenle, qui devient alors

J / rflôgQ, dIogQA

\ d p df, j

dp, ’

est donc nulle, puisque Q, ne doit pas contenir p,. Ainsi les quatre membres du groupe dont il s’agit sont touségaiix à zéro; et il en est de même de ceux du groupe (i6), ^ XLVII, qui n’est que la traduction géométrique du premier.

D’où résultent, pour tout système orthogonal iripleinenl isoihernie, les deux lois suivantes : Si l'on niuhipUa la somme des deux courbures de chaque surjace , par le produit de leurs conjuguées en arc, on aura la variation de ce dernier produit suivant l'arc normal à la surface. De plus : Si Von forme le produit des trois premières courbures (§ XLVII), et celui des trois secondes courbures, la somme de ces deux produits est toujours nulle.

Cette seconde loi résulte de ce que le dernier membre du groupe (i6), §XLMI, est aussi égal .à zéro ; c’est-à-dire que l'on doit avoir, dans le cas actuel ,

Or, avec les valeurs (5), les six courbures ont les expressions (8); la vérilicalion nécessaire de la relation précé-

Sun LES COORDONNÉES CURVILIGNES, ETC. yy

dente exige donc que

,/Q, rfQ, dQ

</p j/p, dp, dp dp, dp, ’

et tel est le théorème préliminaire (lo), qu’il importait d’établir. Passons aux intégrations.

§ LVl.

INTÉÜIIATION DU PllEllIEU GROUPE DES EQUATIONS E.N II,.

Les valeurs (5) doivent vérifier le premier groupe (8), § XLUl, des équations aux différences partielles qui régissent les fonctions H,. La première de ce groupe, qui est

d^n J I riH rfH,

dp, dp. H, dp, dp,~^H,dp, dp,'

devient, par la substitution des valeurs (5) et la suppression du facteur /,

dp, dp, ' dp, dp, ’ dp, dp,

ou bien, en multipliant par 4QQiQn

dp, dp.

' dp, dp, ’ dp, dp.

On reconnaît facilement <pic cette é|uation (i3) est vérifiée par les valeurs

(i4) jQÎ = A!-A',

A ne contenant que p, A, que p , , A. que pt (généralement Ai que p,). En eflTet, la substitution de ces valeurs, ..dans

lou , LEÇORS

l’équation (i3), inti-oduira le facteur commun 4 A', At A',

• A, étant la première dérivée de A/) , et en le supprimant ün aura

relation identique par les valeurs (i 4 )* On reconnaîtra, de la même manière , que la seconde et la troisième é(|uatioii du groupe ( 8 ), § XLIII, sont identiquement vérifiées par les (5) , quand les QJ ont les valeurs (i4)*

La forme de ces valeurs (i4) est indiquée par la nécessité que l’équation particulière ( 7 ) puisse être comprise dans l’équation générale ( 6 ) ; ce qui arrivera, si A et A, disparaissent devant A< , si A disparait devant A,. Le théorème préliminaire ( 10 ), qui est reproduit par les valeurs (i 4 ) , explique la diversité des signes donnés aux A’ ; laquelle est d’ailleurs exigée parla vérifiration qui vient d’ètrc faite, ou par la nécessité que la relation (i5) soit une identité. Les Q’ (i4) devant être positifs, il faut que les inégalités

soient toujours satisfaites. Si l’on adopte A’ pour le plus grand des trois carrés, c’est toujours en vue du cas parti-

culier ( 7 ); A\ devant donner - , quand rellipsoidcA sc réduira à une sphère.

J’ai démontré, depuis, que les valeurs (i4) des Q’ sont les intégrales les plus générales du groupe des trois équations aux diflérences partielles [(i3) et ses homologues] quelles vérifient. Mais, sans connaître cette généralité, en regardant même ces intégrales (i 4 ) comme des intégrales particulières, l’article qui précède rend extrêmement probable que ce sont elles qui doivent recéler le système ellipsoïdal triplement isotherme, s'il existe réellement. On |>eul donc passer outre.

toi

SUR LES COOIlUOJiSiÉES Cl RVIUICMES, ETC.

Pour faciliter les calculs qui vont suivre , il est utile de réunir dans le groupe suivant

Q>A’-QÎA;-t.Q;A;=o,

quatre identités , dont la vérification est facile , à l'aide des valeurs (i 4 ) ; la première n’est autre que (i5).

S r.vii.

INTÉOnATlON DU SECOND GROUPE.

Les valeurs (5) sont encore régies par les trois équations aux différences partielles du second groupe ( 9 ), §XL1V. La première de ces équations , qui est

ji j I rfH,

“h, rfp, , H rfp , I rfH rfH.

■rfp, '‘h: rfp,

devient, en y remplaçant les H/ par les valeurs (5),

dSi.'îSi a Q

Q.Q rfp. Q.Q. dp q; £Q ^

rfp, rfp Q’Q; dp, dp.

Il s’agit de substituer, dans cette équation ( 19 ), les intégrales (14 )• En ne transformant d’abord que les dérivées des Q,, on a

qq;

dp.