FORME PROBABLE DES INTEGRALES

Au lieu (l'entreprendre une opération aussi prodigieusement longue, on peut, d’après certaines propriétés des fonctions A,- et Aî , assigner d’avance les valeurs probables des coelbcicnts (w,, //i, p, composer, en qucbjue sorte de toutes pièces, un groupe (aa) qui reproduise ces propriétés, et constater ensuite que le groupe ainsi obtenu vérifie les équations (21). Telle est la marebe que nous allons suivre.

D’après la symétrie complète des équations qu’ils doivent vérifier, les polynômes (22) doivent être composés d’un même nombre fini de termes; de plus, les coefficients de leurs termes correspondants doivent avoir les mêmes valeurs absolues, avec une diversité désignés qui soit en rapport avec celle des A,’ dans les Q,’ (i 4 )- 0 ‘b comme on va le voir, le nombre commun des termes ne saurait être inférieur à trois, et il peut n’être que trois.

Les inégalités (»6), exigées parla réalité des fonctions Q,, doivent subsister quelles que soient les valeurs complètement indépendantes des A’. Pour qu’il en soit ainsi , il faut*' qu'il existe entre A| et A| une certaine constante, infrancbissable pour A| quand il descend, pour AJ quand il monte; il faut qu’il existe pareillement entre AJ et A* une autre constante, nt'cessai rement plus petite que la première, qui soit infranchissable pour AJ quand il descend, pour A' quand il monte. De ces deux constantes, qui servent de limites, et en ([Uelque sorte de bornes, aux excursions de AJ, la première .peut être prise égale à l'unité, et A’ représentant la seconde, sera nécessairement moindre que i. En résumé, le groupe des inégalités (16) doit être complété de cette manière

(24) «>A;>i>Aj>r>A’>n.

Il >4 LEÇOnS

Cela posé, la fonction AJ étant nécessairement supérieure à A’ et inférieure à l’unité, le produit (AJ — A*) (i — AJ) devra rester essentiellement positif; et il sufBt de l’égaler à A’,’ pour que la fonction AJ soit analytiquement assujettie à i-ester entre si» deux limites ; puisque, en deçà et au delà , A', et par suite p, , seraient imaginaires. La fonction A* devant être toujours inférieure à A*, AJ toujours supérieur à l'unité, on aura le groupe suivant :

A"= (/>— A>) (i — A’) = A’— (i ■+■ A’)A'4- AS A',* = (AJ - A’) (I AJ) = - A' -f- (I + A’) AJ - AJ,

a',- = (aj-a>)(aJ-i) = a>(h-a’)aj-ha;,

qui satisfait à toutes les conditions de limites, de réalité et de symétrie, imposées aux A - et aux AJ ’ . En opérant sur ce premier groupe , comme on l’a fait sur la Valeur générale (aa) pour obtenir l’équation (a3), on en déduit le suivant :

I Aa"= — (l -I- A’)A*-h 2AS (a6) jA,A'J=(i+A’)AJ-aA:,-

(a.A’, = -{i - t- A*) AJ-t-aA;.