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UÊSUMÉ ni:s deux lntèg hâtions.

L’équation ( 21 ) est donc vérifiée par les fonctions A, que définit le grou[)c (25). D’après la symétrie de ces fonctions qui correspond à relledes Q,’ (t4)j '1 même

des deux autres éipiations liomologucs ; d’ailleurs, leur vérification dii'cete s’obtient de la même manière, avec quelques did'érenecs de signes dans les opérations. Ainsi, en exprimant les O, (i4) par les A, (a5), les valeurs (5)

SliR LES C00I\l)0.%>ÉFS CL R Vll.lr. ^ ES, ETC. U>7

correspondent* à un système orthogonal triplement isotherme, vérifient les six équations aux dilVérences partielles régissant les fonctions H,.

J’ai encore démontré, depuis, que les valeurs (i 4 ) desQ.-, exprimées par les A, (a 5 ), sont les intégrales les plus générales des trois équflilons qu’elles vérifient [ (19) et scs homologues], Mais ne fussent-elles aussi que des intégrales particulières, les considérations si précises qui conduisent à la formation directe du groupe (a 5 ), s’ajoutent à toutes les précédentes, pour rendre encore plus probable, que nous n’avons pas quitté la voie qui doit aboutir au système ellipsoïdal triplement isotherme.

Celle assurance était nécessaire, car la recherche entreprise est loin d’élro terminée. Une autre intégration est indispensable, pour reconnaitreel définir le système orthogonal que recèle le groupe (a 5 ). Il faut essentiellement exprimer ce système en coordonnées rectilignes, ou déterminer les fonctions u qui lui correspondent, à l’aide des quatre éi[uations aux dilférences partielles (28) et (29) du ^ L. Tel sera l’objet de la prttchaine leçon, dans laquelle nous prolongerons la série actuelle de numéros d’ordre, pour les équations cl leurs groupes, afin de faciliter les renvois.

Quant à la leçon actuelle, deux observations la résument en quelque sorte. 11 s’agissait de déterminer, sous certaines conditions, trois fonctions ff, de trois variables pj, régies par six é<[uation$ aux dillérenccs partielles, du second ordre, simultanées et non linéaires. Or, ce problème d’analyse, qui eût certes paru inabordable, étant considéré isolément, se trouve résolu sans grande difliculté, quand on ne le détache pasdcla question qui l’a posé,ctqui inditjueelhîmème la marche h suivre. Et celle méthode d’intégration, fju’oii peut appelei- naturelle, introduit essentiellement des fonctions A, inverses des variables indépendantes p, .

I ()8 LKÇOAS

Voilà un nouvel indice de ccttc loi, si souvent mauifcstéc (par la Géométrie appliquée de Monge, dans la Mécanique céleste, en Physique mathématique), que le problème de l'intégration des équations aux différences partielles, a autant de genres de solutions qu’il existe de sciences distinctes réclamant son intervention. Loi qui explique les difficultés qu’on rencontre, quand on essaye d’atteindre toutes ces solutions par une seule et même méthode. On pourrait même eu conclure l’impossibilité d’une telle généralisation.

sus LE« COOHDONNÉES CUnvn.IGNES, etc.