LEC(>^S

les h, par

se met sous la forme

d'n (/logH, du rfiogHirfw </p, rfp, rfp, rfp, </p, da.

Puisque les H, (5) ne contiennent les p, qu’implicitcment par les A,-, il peut en être de même de la fonction u. Alors, chaque dérivée en p, pourra être remplacée par celle en A, multipliée par A', . Faisant ce changement, et supprimant le facteur commun A' A',, l’équation précédente devient

d' U </logH, da i^Iog H, du

dA-idAt dAi dAi~^ «/Al «/A,

Les expressions (5) donnent immédiatement

</logQ Aî

«/A, ~ rfA,

rflogH, «/logQ Al

«/Al “ “rfÂr ~ ~ Q’*

En y substituant ces valeurs, et la multipliant par Q’ remplacé par sa valeur (i4)t l’éqùation (33) est déQnitivement

On intégrera cette équation linéaire aux différences partielles, et ses homologues, par le procédé général adopté en physique mathématique. Ce procédé consiste à composer la fonction intégrale d’une suite de termes simples, vérifiant tous et séparément les équations à intégrer; et quand il s'agit d’une fonction-de-point, chaque terme simple est le produit de quatre facteurs, le premier étant une constante arbitraire, les trois autres ne variant chacun qu’avec l’une des coordonnées .

On posera donc

(35) « = ^GFF,F.;

SUH LES CÜOKUOWNÉES CIHVILIGNES, ETC. Il3

G étant la constante arbitraire ; chaque facteur F, ne va-

riantqu’avec p,, et indiquant, ici, la sommed’un nombre

de termes semblables, qui peut être infini. Le terme simple de (35), substitué dans l'équation (34) qu’il doit vérifier, donnera

ou, par uue transformation facile, les deux premiers niein bres de l’égalité multiple

(F, étant la dérivée -de F, en A,). Si, au lieu de l’équation (33), on prenait successivement ses deux homologues, on trouverait que le troisième membre de (36) doit être égal, soit au premier, soit au second. Ainsi, l’égalité multiple (36) indique, à elle seule, que le terme simple vérifie les trois équations à intégrer.

Les trois premiers membres (36) ne pouvant contenir chacun qu’une des trois vaiiables p,-, différente de l’un à l’autre, leur valeur commune est nécessairement une constante e. Les é<|uations différentielles (36) peuvent se inettr»sous la forme

rfFi Ai il Ai

et, à un facteur constant près, leur intégration donne F, = v^±:(A,' — e), . . . , 3;

avec CCS valeurs, l’intégrale générale (3îf) devient

(37) ^ V^g(A>— e)(ÂJ — e)'A- — e)

ll.i l.K<,:Ol<iS

(••Il |>laiaiit la constiiiiU* aii>ilrain' ^ollS le railii al, aliii iK‘ jiouvoirliii (lonneruii si};iu; U'I, que co radii al soil loiijuurs réel ). Telle csl la ^ aleur f^énéralc de toute eooidoiinée reetiligne u, ex()riiin-e à l'aide des [taranièlres p, du système orlliogoiial acliiel. et vériliaiil le groupe (28), § !..

§ lAlV.