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(p»A»A;-t-B»B;-i-,cc»c;),

et la parenthèse du second membre, en y substituant les valeurs des et des C,’ en Af déduites des (43), devient d'abord

LEVONS

là, le coefficient total du produit A’ A| est (Ar'’ — i A*), OU zéro, d’après (44) î coefficient total de la somme (A’-i- Aî) est ( — A*-)- A’), ou zéro; il ne reste donc que les termes indépendants des A’, qui, réunis, sont ( — A‘+A*), ou A’ (i — A’), ou enfin A* A'*, d’après (44)-

Substituant cette valeur définitive à la parenthèse du second membre de (54), cette équation, qui ne contient plus que p,, et qui représente conséquemment la famille de surfaces dont cette coordonnée est le paramètre, devient la première du grouj>e final

Les deux aulnes équations sont celles des deux autres familles, et s'obtiennent de la même manière, en éliminant successivement, entre les (53), les fonctions inverses des paramètres p, et p, puis celles des paramètres p, et p,.

Il est donc bien vrai que la famille au paramètre p, contient un ellipsoïde, puisque toutes ses surfaces sont des ellipsoïdes. De plus, les deux autres familles se composent d'hyperboloïdes à une napp<! et à deux nappes; en sorte que toutes les surfaces conjuguées sont du second ordre. L’étendue et la simplicité de ces résultats étaient imprévues. La réponse faite par l'analyse est plus ricke que la question posée; il en est toujours ainsi quand on la prend exclusivement pour guide.

Toile est, en réalité, la marche rationnelle qui m’a conduit aux coordonnées elliptiques. S’il s’agissait de résoudre un autre problème de inèine nature, de trou\er le systèm<‘ de coor données relatil h d’autres corps que l’i’llipsoïd»!. ou

SUR LES COORDONNÉES ClIRVlLUiNES, ETC.

(léliui par des conditions Jillërentes, il faudrait sans doute reprendre la même marche ; déterminer des fonctions H, qui, satisfaisant aux nouvelles conditions, puissent vérifier les six équations aux diflércnces partielles, régissant ces premières fonctions; puis déterminer des fonctions u, vérifiant les quatre équations aux dilférences partielles (jui régissent- ces secondes fonctions, quand on j a substitué les valeurs trouvées des H,. C’est-à-dire, intégrer successivement neuf équations aux dillércnces partielles du second ordre, et une du premier; toutes simultanées et non linéaires. Problème qui parait inabordable dans son énoncé général, et qui peut cependant se résoudre sans de grandes difficultés, lors<jiron le traite particulièrement, et qu’on énumère, à chaque pas franchi, les propriétés analytiques et géométriques qu’il signale, afiti quelles puissent venir en aide pour franchir le suivant.