LXIX

DÉVEU)PPEMENTS DES (A,, B,, C,).

Lorsrju’une rer-hcrche de physique mathématique exige l’emjtloi du système ellipsoidal avec ses coordonnées therinométriqués. il n’est pas indispensable de connaitre toutes les propriétés des fonctions inverses (A,, H,, C,); même s’il s’agit du problème général énoncé au S Lni, et dont la solution est exposée dans les XVIII' et XIX' Leçons sur les fonctions inverses. Tout l’espace est occupé par les trois familles de surfaces conjuguées, avec des valeurs des paramètres comprises entre des limites telles, que la plupart de ( es propriétés ne s'y manifestent pas. Il suffit de, savoir quelles sont les limites, en quelque sorte géuniétri(|ues. des p,, et de pouvoir calculer approximativement les (A,, '

11,, C,) cpii correspondent aux saleiirs des paramètres comprises entre ces limites.

t'euillc B.

124 I.KÇOMS

La feuille K contient toutes les formules <}ui sont alors nécessaires. Dans le tableau 1, les p, sont exprimés par des intégrales, en A pour p, eu B, pour p,, en -C, pour p*; de telle sorte que la limite inférieure de chaque intégrale soit zéro; les trois fonctions inverses sont remplacées sous le signe somme par la même variable f, et ne figurent qu’aux limites supérieures des intégrales. Quand ces limites sont, A- pour A, A'pour B,, l'infini pourC,, les p, ont atteint leurs dernières valeurs représentées par CT,.

Ces dernières valeurs o, sont des nombres qui dépendent de la constante A’; la formule II donne le développement du nombres en A’; on l’obtient facilement à l’aide de l’intégrale définie elliptique, dans laquelle o se transforme, et qui est placée à la fin de la première ligne du tableau 1. Ou établit, par la transformation des intégrales définies o., que Q, = et, et (jue CT, = ct'; o' étant ce que devient o quand on y change A’ en A'*.

Les tableaux III, IV et V contiennent les premiers termes des développements que donne la série de Maclaurin, pour les neuf fonctions inverses (A,, B,, C, ).

Dans le système ellipsoïdal exprimé par ses coordonnées thermométriques, on peut n’admettre que les valeurs des paramètres p, comprises entre — et,- et -f- a,. Alors les six fonctions inverses (B, C; C,, A,; A,, B,) restent constamment positives, tandis que les trois autres (A, B,, Ci) prennent le signe de leurs variables'. D’après cela, il résulte du groupe (53) que x change de signe avec p par A, y avec p, par B,, Z avec p, par C,. A l’origine Odes cooidonnées, les p, sont nuis ainsi que les u.

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