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SA DÉFINITION GÈOMÉTRIOOE.

Le syslèmc ellipsoïdal élant tel, qu’aucune des six courbures n’est généralement nulle, pourra servir, mieux que celui des coordonnées spliérii{ues, h vérifier, et même à étendre, les lois qui régissent les surfaces orthogonales. La définition géométrique complète du nouveau système, in; peut donc que faciliter res applications.

Les relations (45), § LXM, expriment que les trois familles de surfaces du sceoud onlrc (55), § LXVIII, sont homofocalcs, c’est-.i-dire que leurs sections principales ont les mêmes foyers. Portant, de part et d’autre de l’origine O, sur l’axe des x, d’abord OF et OF' égales .à /, ensuite Ôfci Of' égales à A/; sur l’axe des O.f et Ôl' égales à A7; les

points F, F', f, f', .f, -T', sont les six foyers constants, tous situes dans le plan des xy .

L'ellipse dont les axes sont F' F, -T' .f, et (jui ’a con.séquemment pour foyers f, f', est appelée V ellipse focale , parce qu’elle concentre, dans sa propre définition, les six foyers constants du système. I.’liyp<'rbole, située dans le plan des.zx, d«nt les soiiiinets sont f et f', et les foyers F et

i.rço>.s

F', est ;ip|u;lée l'hy fierho/c oinhilicnie, [>arte (ju’elle Iracf, sur cliaque ellipsoïde de la troisième famille, les quatre points connus sous le nom à'omhilics.

La première et la dernière surface de chacune des trois familles jS, sont planes. Le plan des yz appartient entièrement à la premièi'e surface p. Le plan des zx est partagiL entre la dernière surface o, et la première surface p, par rhyperlxile ombilicale. Le plan des xy est parta;;é, entre la dernière surface p, et la première surface p, par l’ellipse focale. La sphère de rayon infini est, en totalité, la dernière surface p,.

On obtient une définition {géométrique claire, rapide et complète du système ellipsoidal, en se plaçant sur la pix'mière surface d'une des trois familles, qui se meut et se déforme, de manière à se superposer successivement surtoutes les autres surfaces de la même famille, jus(|u’.à la dernière; puis, en passant sur le même plan, et par l'intermédiaire. soit de rhvperhide ombilicale, soit de l'ellipse focale, à là première surface d’une autre famille, qui se meut et s<‘ déforme à •son tour.

La familled'hvperboloïdes .à deux napjies au paramètre p, commence par la surface o = o, ou par le plan des vz dans toute son étendue. Ce plan 'se dédouble dans le sens des .r, de manière à former deux nappes, qui s’éloignent et s’infléchissent en sens opposés; celle de droite prend les valeurs positives du paramètre p, celle de gauche les valeurs négatives. En continuant à s'éloigner et à s’infléchir, plus dans le sens des y ipie dans celui des z, les deux nappes mobiles, après avoir balayé tout l'espace, aboutissent aux parties intérieures de l'hyperbole ombilicale ; là, le paramètre p atteint ses valeurs limites ±n; en sorte que la dernière surface de la première famille est une |daqne hyperboli(|ui‘ à deux nappes.

La partie du plan des r.r, exiéricure à l'^iypei bole om-

si;il LES COOUDONNÉF.S C t 11 V I I.IO^ ES, ETC.

bilicale, Cornu; la plaque lis (U'i'bolique à une nappe, pre- . iiiière surface (le la seconde famille, où le paramètre p, est •/,éro. Celle plaque se dédouble dans le sens des y, de manière à former un hyperboloïde à une nappe, qui .s’ouvre et s’iidléchil de plus en plus; la partie (|iii s’ouvre en avant du plan des zx prend les valeurs jjositises du paramètre p,, celle t|ui .s ouvre en arrière les valeurs iiégaliv(*s. l..es .somin(;ls de l’ellip.se de gorge marchent de Cet f' vers F et de l'origine ü vei-s 5 et Quand cette ellipse se coiiloud avec l’ellipsé J’ôeale, la nappe mobile, qui a balayé tout l’espace en s'îiillécliissaul, .se conehe déliuilivemeiil sur le plan des xy, et forme la plaque indéfinie à vide elliptique, dernière surface de la seconde famille, où le paramètre c, atteint ses valeurs limites -t n'.

La partie du plan des xy, intérieure à l’ellipse focale, forme la plaque ellipiicpie, première surface de la troisième . famille, où le paramètre p, est zéro. Celte plaijue se dédouble dans le sens des z, de manière à former un ellipsoïde d abord irès-aplati, cl qui, en s'agrandissant et .se gonllani de plus, balaye encore tout l'espace, pour aboutir à la sphère de rayon inlini, dernière surface de la troisième famille, où le paramètre p, atteint ses Valeurs limites ± n : la partie supéricui'e au plan des .r> ayant pris les valeurs jvosilives de p,, la partie inférieure les valeurs négative.s.

SES LIMITES ET SES VARlfeTCS,

Le système ellipsoïdal, qui vient d'être défini géoniétriquemenl, est loin d’èire unique, comme le système cylin- <lrique des coordonnées polaires, on comme le système conique habituel des eooi données sphéi ique.s-, lesquels restent conslamnicnl et parioui les mêmes. Pour la même grandeur de la ligne /, il existe, en réalité, aitlant île sys-

LEÇONS

tèmcs ellipsoïdaux dillërciits et non su|)orposabIes, que de valeurs fractionnaires comprises entre zéro et l’unité, successivement assignées à la constante' Ar, ou au rapport des demi-distances focales O f et OF. De plus, à la même valeur de A, ou du rapport de Of à OF, correspondent une infinité de systèmes semblables, mais non superposables, <|ui diffèrent entre eux par la grandeur de la ligne / ou de la demi-distance focale OF.

Lors(|ue, l restant le même, on prend la limite At = o, ou qu’on annule la demi-distance focale Of, on a le système particulier des ellipsoïdes planétaires, dont les trois familles sont ; celle des plans méridiens .tu paramètre aziiiiutal P ; celle des hypcrboloïdes de révolution à une nappe, .au paramètre p, ; et celle des ellipsoïdes de révolution autour du petit axe de leur ellipse méridienne. L’hyperbole ombilicale se réduit à l’axe polaire des z; l’ellip se focale, au cercle lieu géométrique des foyers constants, des sections méridiennes des deux dernières familles.

Lorsque, / restant encore le même, on prend la seconde limite A = i, ou qu’on égale la demi-distance focale Of à OF, on a le système particulier des ellipsoïdes ovaires, dont les trois familles sont : celle des hypcrboloïdes de révolution à deux nappes, au paramètre p; celle des plans méridiens, au paramètre aziinutal p, ; et celle des ellipsoïdes de révolution autour du grand axe de leur ellipse méridienne. L’hyperbole ombilicale se réduit aux deux parties de l'axe polaire des x, situées eu deçà de F', et au delà de F. L’ellipse focale se réduit à la droite comprise entre les deux points F et F', seuls foyers constants des sections méridiennes delà première et de la troisième famille.

Pour tous les systèmes ellipsoïdaux semblables, correspondant à la même valeur de A-, et à des grandeurs dilfé-

scn LES COORDOHHÉES CUKVlI.ir.NF.S, ETC.

rentes de la ligne /, les cônes asym^notes des hypcrboloïdes homofocaux à deux nappes et à une nappe forment deux familles orthogonales de surfaces coniques du second ordre, lesquelles restent le^mêmes pour tous les systèmes semblables. A la limite de /= o, ces cônes s’associent avec la famille de sphères concentriques, pour composer un système orthogonal conique et triplement isotherme, tangtent vers l’infini à tous les systèmes ellipsoïdaux correspondant à la même valeur de k.

Les deux systèmes coniques, tangents vers l’infini aux systèmes des ellipsoïdes planétaires et ovaires, ne sont autres que le systèi^ conique habituel des coordonnées sphériques. Lequel semble se préscntei;. à la fin decetteénuniéralioii de tous les systèmes nouveaux, nés de la même recherche, comme potir.nous rappeler qu'au départ ses indicalioiu ont puissamment contribué à la faire réussir.