SES RELATIONS SYMÉTRIQUES

Par la substitution' des B/ et des C/, donnés en A] par les relations (45), § LXVI, ou a les développements

d’où l’on déduit, à l’aide des formules (lo), et de la première (9),

(R>— 3 PR -f- 3 n)— (1 -pX >) (R’— 2 P) -t- X'R = w.

w représentant cette nouvelle somme symétrique. D’après les valeurs (i) des G„ celte relation (16) peut se mettre sous la forme

{.6 bis) G’ q: q; - g; Qî Q» + g; 0» q) = « Les Q' exprimés en A,' donnent aisément

q;Q’ = -a:-2a;a=-pp, (q’q;= a;-p2A’a; — P.

tFou l'on lions par

déduit, eu multipliant respectivement 'ces relaies A?, ■*

A‘ = A>q;q;-P PA’ — an.

-A: = A;Q;Q=-PA|-P2n,

l34 J.EÇOMÏ

Si l’uu addilioniic CCS trois valeurs (i8), resj>eciivoiiieni multipliées par les Q’, les identités (17), § LVI, donnent pour la somme

(19) Q=A*-Q;A;-(-Q;A;=Q=QXnR.

Additionnant de la même manière, ou avec les mêmes facteurs, les développements (i 5 ), on a, par les mêmes iden- ^ tités cl par la relation (19),

ou bien, en divisant par le produit des Q,’, et introduisant les G, (1)

d’après la première (14). Celle relation (21) exprime (juc la somme des G’ a la même valeur, pour tous les points également distants de l’origine O.

Si l’on ajoute à la première (17) la quatrième puissance de Q, qui est ,

la somme des seconds membres s’exprime symétriquement par l’une des sommes (10), et l’on a la première du groupe suivant

les deux autres s’obtiennent d'une manière analogue, et X

représente la valeur commune.

On constate facilement ([uc les quatre expressions symétriques, successivement introduites, -'R et ;x-(i4), w (16),

Sun LES COOnSONHÉES CURVILIGMES, ETC. l35

^ (23), yériHent la relation

U -I- fl = ). ift-.

Cela posé, ajouUiules trois équations (22), respectivement multipliées par les G’, substituant, dans la somme, les valeurs "i[i6 et (21), puis remplaçant (XA — (>>)parp, d’après la relation qui précède, on aura définitivement

G'Q*-hG;Q: + G;Q; = fi =

conformément à la seconde (i4)- Cette relation (23) exprime que la somme des Q,‘ G’ a la même valeur, pour tous les points de chacun des ellipsoïdes semblables, au paramètre fl.