LXXV

œURBUntS PROPRES DE SES ARCS s,.

Maintenant, d'après les formules (22), § XL, la courbure propre de l’arc s, normal à l’hyperboloïde à deux nappes, et ligne de courbure de l’ellipsoïde, est donnée par ré({uation

.qui, en substituant au numérateur sa valeur déduite de la relation (23), devient la première du groupe

Pi q ' q : ’

la même transformation donnant successivement les deux, autres.

1 36 LEÇONS

Lorsque l’on additionne respectivement les lignes du groupe (24)5 3 'cc les carrés de celles du groupe ( 4 ), première case, et que l’on remplace les dénominateurs des seconds membres par

les ouïes

on obtient l’égalité multiple

D'où résulte, pour le système ellipsoïdal, cette double loi : Si l'on ajoute au carré de la différence des courbures de chaque surface, le carré île la courbure de l’arc normal , et qu’on divise la somme par la quatrième puissance de la 'variation du paramètre suivant cet arc, on aura trois quotients, lesquels seront égaux. De plus, leur valeur commune sera la même pour tous les points de chacun des ellipsoïdes semblables, au paramètre p.

§ LXXVl.

UKLATIONS ENTItE TOUl liS SES œUUBUUES.

Le groupe ( 24) peut servir à vérifier les formules et les lois établies aux § § XL et XLl. Pour simplifier cette vérification, désignons cIiaqueG,’ Q‘ par g, , et pétant la somme des trois g',, représentons par v celle de leurs produits deux à deux, c’est-à-dire posons

' ' +• B'-S + Ptt'—

SUR LES COORDOiriféeS CVRVILIGHES, etc. l'.S']

Les équations (24), résolues par rapport aux />,, donnent

Prenant au groupe (4)> seconde case, les pro<luits des courburesde chaque surface, les cosinus ni, (ad), § XL, des angles plans qui forment l’angle triédre des iioriualcs principales aux trois arcs 5,, auront pour carrés

(p — iîi)

si l’on représente par d’ le produit des trois facteurs positifs (p — gi)^ ou si l’on pose

Dans le développement du premier membre de celte relation posée (29), les termes en p* et en p’ se détruisent, d'après la valeur (ad) de p, et, d’après celle de v, ôn a simplement

(30) ' = pv — g’g.g’j.

Avec les valeurs (a8), le produit des iii’ est

pi) m’m, m, = — 5 '~~'

l38 . LECOKS

Cl rciiiar<|u:iiit <|ue l’on a iilcntiqucmciil

, —g>g--{t^—g) + g^g({^ — g<)-^ggt(i^—g^) ' = P — 3gg,g„

lu ^oluule des carres des mêmes cosinus est

d’où l’on conclut, d’après (3o) ci(3i),

(32) ( I — /«’— rn\ — m\y = ^m'‘ m\ m\.

Ainsi la relation (3o) du § XLI, existe pour le système ellipsoïdal ; d’où il suit <[ue les deux produits ‘Jf' et ‘f", du même paragrajdie, sont égaux entre eux, et que leur carré est (3i); cc. (|ui résultait d’ailleurs de la relation foudanientale (p), § LV. On a donc actuellement

Les sinus (jui correspondent au cosinus m,, s’expriment facilement à l’aide des g,. On a identiquement

d’où I on conclut, d’après la première ( 28),

(k — giHF — è’O

et multipliant, haut et bas, par (u — g), introduisant à', o'n a la première des valeurs du groupe qui suit, les deux

SUn LKS COORDONNÉES Cl.RVILIGNES, ETC.

aiilres s’obtenant de la même manière,

ff,)

Avec les valeurs (33), (a3) et (34), le groupe (ay) du § XLI se calcule rapideinent, car, par exemple, sa première cxjuation devient

et sa transl'ormation complète donne le nouveau groupe

(jue

" éT +

vérifient d'ailleurs les valeurs (a4) et (a).

ÿ LXXVII.