S LXXVIII

SIS aiUIlBLIlhS 11KSULTA.NTES.

D’après la formule (21) <lu § XXXIX, la courbure résultante -> relative à la surface p. est actuellement donnée par l’équation

et substituant les valeurs ( 3 ) «;t (24), on a, pour b? système ellipsoïdal,

puisque Q- est égal à (Q’ — Qî)» d’après l'ideiuité si souvent employée; ou, remplaçant G par sa valeur (1),

oyo^ ’

et, d’après la valeur (q) du produit des deux courbures de la surface p, et la vabmr (t) de G, 011 a détiniliver — :î ’

stn LES coonDONNÉes cmviLicwEs, eic.

première du dernier groupe

les (leux autres résultant de substitutions homologues.

Ces valeurs ("iy) conduisent facilement à un nouvel énoncé de la double loi du § LXXV. Dans des recherches importantes, faites à l’aide du système ellipsoïdal, plusieurs géomètres ont choisi, j>our coordonnées, les pix'miers axes (/A, /A,, /A,) des surfaces conjuguées, cl non leurs paramètres ihermométriques. Alors les courbures paramétriques n'étant plus égales aux courbures sphéritjues, les courbures résultantes ont des valeurs plus compliquées, et dont l’iiiterprétalion géométrique n’esl pas sans diflieulté.

Terminons par quelques détails, relatifs aux courbures appartenant aux points situés, soit sur l’hyperbole ombilicale, soit sur l'ellipse focale. Leurs expicssioiis sont celles des deux tableaux ;

l4’-* LEÇONS

Les titres rappellent les valeursJitniies, qu'il faut donner aux A,, pour déduire ces expressions des formules générales.

D’après le premier tableau ; i " sur l’hyperbole ombilicale, les deux courbures de chaque ellipsoïde traversé sont égales cl de même signe ; 2” les deux courbures conjuguées en l’arc hy])crbolique, sont égales entre elles,’ et à la courbure propre du même arc; 3 " les deux courbures i-éciprotiues, appartenant aux rebords infiniment courbes des plaques hyper- ’ boliques conjuguées, sont infinies, de signes contraires, et leur rapport est moins Vunitô.

D’après le second tableau; 1" sur l'ellipse focale, les deux courbures de chaque hyperboloùlc à deux nappes traversé sont égales et de même signe; 2" les deux courbures coirjuguées en l’arc elli[)tique, sont égales entre elles, et à la courbure du même arc; 3 ” les deux courbures réciprorjues, a|>partenant aux rebords infiniment courbes des plaques, .à vide ou plein elliptique, sont inlinies, île signes contraires, et leur rapport est moins /’unité.

Ainsi l’ellipse focale trace aussi des ombilics sur les liyperboloïdes de la première famille. On remarquera que la valeur commune des dimx rayons de courbure, aux ombilics d'un ellipsoïde, est égale au cube de son demi-axe moven, divisé par le produit de.s deux autres demi-axes.

St'H LES COOnDONNÉEij CV K W LIGNES, ETC.