LXXIX
SES ÉQUATIONS EN (.(XMIDONNÉES CURVILIfiNKS.
Les éfjuations tlii mouviMnent d'un point matériel peuvent être exprimées en coordonnées curvilignes p,. Ciar, lorsque ce mobile traverse le svstème orthogonal fixe, le lieu M, qu’il occupe h une éporpe étant délini par les valeurs des paramètres p, des trois surfaces eonjugiiécs qui s’y coupent, ces valeurs sont trois fonctions du temps t, qu’il suffit de connaître pour en déduire la trajerioire. 11 s’agit d’étaLlir les éiiuations difléiamtielles qui doivent régir les fonctions
Soient, au point M, A la vitesse du mobile sur la liajecloirc, et (»', iq, e,) les projections de ectlc vitesse sur les normales aux surfaces conjuguées; n une coordonnée rectiligne quelconque, et (L, Ü, , 13,) les cosinus des angles que sa direction fait avec les mêmes normales. On aura
dsj
JL Ùl
ht
La coordonnée u est la fonction des trois paramètres p,.
LEÇONS
dont les six dérivées partielles du second oixlre sont données par les équations ( 3 o), § LI, et (28), § L. Ces é<juations peuvent se mettre sous la forme
,, du, jV U,,
f/prf.--, \r, r j
en exprimant les dérivées du premier ordre, de u par les U, (2), des /), par les courbures des surfaces ( 24), § XXX, et les courbures paramétriques (2Ô), § XXXI.
La fonction u ne contenant le letnps tjue par les p., sa première dérivée en t est
du ,lu dpi •
dt •2d dpi dt
La seconde dérivée, par rapport à la même variable, peut s’écrire ainsi :
If rf/’ dpf 7
~di
^ 2 /i, Ih ■ ■ l’j - 4 - II, Il
dp, dp.
dp, dp
d! u dp dp.
V,,' -H hh,
en remplaçant, Ics^par /«, t’,, les Et, lorsqu’on
y substitue les valeurs ( 3 ), et qu’on met les U/ en facteurs
Stu LES COoniM)NNi:ES CinVILKlNES.
communs, elle donne délinilivenient
