LXXXI

ÉVAI.ÜATION DIUKCTE DES AtT.El'.fcUAïloÿs R,. V 1/accélération du mouvement curviligne,'* qui s’exécute sur l’axe (supposé fixe, et où <^nsé([uemmen t la ('©ordonnée P varie seule, tandis que p, et p. restent. constants),

se compose de l’accélération tangcnticlle et de l’accé-

léralion normale — ■ La première est dirigée suivant la normale à la surface p-, .sa valeur s’obtient en difi’érentiant la vitesse V, ou ÿ- P^r rapport à /, dans p seulement ,

non dans p, ni dans p„ qui restent invariables; d’où réstihe, pour la somme R, le terme

rf(r) I (l'p I eili /clp\^ I f/’p c>>

^ dt h dl^ h’ dp \dt J h df’ r

la parenthèse, donnée à t', indique la restriction impo.séi^

A la différentiation. d,a seconde —, dirigée suivant la nor-

male principale de l’arc .ï,donned(îuxcomposanles suivant les normales aux surfaces p, et p,, dont sa direction est si'-p.-rt-ée

S«IK LKS COUllIlDiyMÉK.'' I.U It V I LK;?( KS, KTC. I 4y

parles angles aûxcosiiius- el - (XXXVIII); d’où résulte 1’^

le terme — pour R, , le terme - pour R,.

I-c n aiisport de l’arc f/, s, en'eetué par la rotation autour • de l’axe mené par C', peut se décomposer en une sinijde translation, uniforme ou sans aecéléralion , qui amènera l’arc (h^ parallèlement à lui-mèine, en /«i «i [fig. à), et en une rotation autour de m,. Cette rotation fera décrire à l’extrémité //,, dans le temps dt, un chemin n^N,, parallèle à m, .M, en sens contraire de la trauslaliou, et dont la valeur absolue, donnée par la similitude des deux triangles m,C'M, est

rf.t t'i i> .

ds, — =

jnultiuliant ce clieniiu i)ar —c on aura une accélération

* * dO

*1“' faire partie de la somme R). On trouve

de la même manière, que le transport de l’arc ds, clléctué par la rotation autour de l’axe mené par donne lieu à

une accélération — c qui doit faire particdclasommcRf.

En résumé, les mouvements composants exécutés sur et par l’arc c/j, donnent aux sommes R. les tei mes du tableau suivant, au-dessus des<|uels sc trouve la lettre p.

dt

dt

pt

2 VjV,

IJO

Les icrmes au-dessus desqueds se trouve la lettre p,, ou p,, seront donnés de la même manière, par les mouvements composants exécutés sur et par tls , , ou sur et par ds,. - Les sommes (8) sont id<‘ntiquement les mêmes que celles (G), déduites de l’analyse, en avant égard aux valeurs

essentielles (j) des Ainsi, le mode de décomposition

du mouvement général, qui conduit à <’es sommes (8), est complètement vérilié. Si les arcs tls, n’étaient pas infiniment petits, on conçoit que ces trois arcs, |)arcourus et transportés comme l’indique la décomposition actuelle, amèneraient leurs dernières extrémités m, dans trois positions voisines, mais difVérentcs, de M/. On doit conclure de la vérification qui précède, que ces écarts sont des infiiiiment petits du second ordre, et complètement négligeables quand les c/.?,- sont des infiniment jietitsdu premier ordre. De telle sorte que les vitesses absolues »'*, acquises aux extrémités des trois arcs transportés et parcourus, donneront, en grandeur et eu direction, les composantes de la vitesse totale V'du mobile eu M', suivant les normales aux trois nouvelles surfaces conjuguées, qui passent au nouveau point M' de la trajectoire.

^ lAXXIl.

AIM'UCATION AU SYSTÙME .SfUEHlgl i;.

Appliquoiis l(>s fotniules (8) au système habituel des coordonnées sphériques, lesquelles sont : la longitude ip, la latitude o et le rayon que nous désignerons par y. Un a donc

P — 'h Pi = ?T

les trois «omposantes e, , de la vitesse totale V, sont

tt-di itx • tl’i

!• =; 7 cos 7 —, r, = 7 -J. (•,= -!;

tU ' <lt dt

svii i.Ks coonnoiNNÉES crBvn.ir.i*F.s, etc. Oi

tes rayons di- rourhure des surfaces conjuguées (§ XXXII), oui pour expressions

tangy

SubstiluaiU ces valeurs dans les soiuuies (8), en observant la règle' pre.scri te par la formule (y), d’où résülte que, dans la dérivée de v par rapport à t, le facteur y cos (p reste constant, et que, dans celle de e,, le facteur y est invariable, on écrit iminédiutenient

y— cos y

(O) , «' = V^+7(;* jcos,s.nl, + 2-^ . •

, f/’y /rfitXi ( da\-

Telles sont, en elVei, les valeurs que l’on obtient, eu partant des fonnulcs <lc transformation

■r =: y cos y cos , = y cosy sin ij/, Z = y sin y,

«.■vaillant les trois dérivées si.'condes

d^ Il

lïF'

ou les compo-

santes. (le l’accéléiation totale, suivant les trois axes rectilignes; puis additionnant, successivement, trois fois les valeurs de ces dérivées, respectivement multipliées par les cosinus, exprimés en o et (f.-, des angles ((ue lait avec les axes, soit la tangente au petit cercle parallèle à l’équateur,

1 Sri LEÇONS

{umr oljteilir U, soit la laiigonle au luéiiillLii pour R,, soit le iviyon pour Rj. Calcul assez long, et luême pénible, par suite du défaut eoniplet de symétrie. •

§ LX.WIII

llÈTKHUUÈNl'lTf: DES ti DANS CE SVSTE.ME.

l.orsfju’on compare entre elles les sommes (y), on ne trouve de semblable (|ue le nombre des termes, et la présence de la dérivée seconde d’une des coordonnées dans les premiers; (|uaut aux deux dernieis termes, ils ne juésentent plus ([ue des dill’érences ; deux doubles rectangles de dérivées dans la première, deux carrés de dérivées dans la (roisiènie, un carré et un double rectangle dans la seconde ; en outre, ces deux termes ont le signe -t- dans la deuxième, le signe — dans la troisième, des signes contraires dans la première; et ces deux genres de dillérences ue .SC correspondent pas. Tout semble concourir pour empêcbér la mémoire de retenir les formules (y), malgré leur (jeu d’étendue.

Klles proviennent cependant du groupe général (8), dont la symétrie est si rcmarijuable. C’est donc ce groupe même (ju’il faut retenir, comme restant le guide le plus sûr (JOui' toutes les apjjlications. 11 peut rétablir la symétrie, même dans le système sj>liéri(|uc; car, l’annulation' de troisdes six courbures, et lessignes des trois autres, explitjuent toutes les anomalies ijui viennent d’être signalées; sacliaut que les sommes (8) coutiennenf chacune, outre la dérivée restreinte d’une des trois vitesses composantes, deux termes aux carrés de ces vitesses, et deux aux doubles rectangles, ou reconnait, à leurs traces, ces ex]>ressions générales et .symétritjues, dans les sommes (y), en a|)parcnce si dissemblables.

Cet e\eni()le se joint à beaucoup d’autres, (>our faire reconnaiiro un princip<- nue voici : Lorsqu'une théorie ma-

Stll LES COÜlll)OJN«ÉES CUKV 1 LKiA ES, ETC. l53

Tlu-inaliquc, ou une si mplt; recherche analytique, se sit;iiale par rahsenee de toute symétrie dans ses calculs et dans ses formules, il doit exister une théorie plus générale, une recherche plus étendue, où la symétrie sera au contraire trèscomplète ; et il importe de chercher cette dernière, pour guider, éclaircir, simplifier même l’interprétation des résultats obtenus par la première.