ÉQUATIONS DU MOUVEMENT; SECONDE EORME
Les équations du mouvement d’un point rapporté aux coordonnées curvilignes conduisent à diverses conséquences qui méritent d’être signalées, et qui feront l’objet de la leçon actuelle, que nous commencerons en prolongeant la série des numéros d’ordre, donnés aux formules peu nombreuses de la dernière séance.
Les sommes R„ ou les composantes de l’accélération totale, données primitivement par le groupe (6), peuvent s’écrire encore plus simplement qu’au groupe (8). Si l’on ajoute à la somme R, et qu’on en retranche l’expression
— I elle pourr.1 se mettre sous la forme
1 , rfArfp, d/tdp,\-1
\ h} dt' h^dt \dfdt df,dt j J’
en faisant passer, sous la parcnlhcsc, les trois lerracs né
galil's et réunis
LEÇONS
dans lesquels on substitue ensuite
, I rfp, aux <>, les -^-—1 A, (U
\ , A i tlli ,
aux — les — — —
r, A rfp,
Or la parenthèse, ainsi composée, n’est autre que la dérivée totale de ou de v» c’est-à-dire la dérivée prise,
en faisant varier le temps, non-seulement dans p, mais aussi dans p, et dans p,. Ce qui donne à B, et à scs deux homologues, la nouvelle forme
sans la parenthèse restrictive pour la différentiation.
Ces formules (19) sont certainement beaucoup plus faciles à retenir que celles (6) et (8). Elles donnent en outre un moyen, tout aussi rapide, de former les sommes R,, pour un système orthogonal dont on connaît les paramètres différentiels A,, et par suite les courbures des surfaces, ainsi que les courbures par.amétriques. Mais leur interprétation cinématique reste en suspens. Car on ne pourrait définir un mode de décomposition du mouvement général,
Sun LES COORDOnHÉES CURVILIGNES, ETC. l 63 qui les établirait directement, à l’aide des triangles indicateurs, et des accélérations composées.
Toutefois, on peut remarquer que, dansées sommes (19) de quatre termes seulement, les trois derniers termes de chacune, ou les neuf quantités
sont les composantes de trois accélérations -î-» dirigées vers
les centres Q, des courbures résultantes (§ XXXVI). Car,
l’accélération — faisant, avec les trois normales, les angles aux cosinus —1 donnera les composantes, à R,
- à R,, - à R. ; et ainsi des deux autres.
Cl r, '
Il ne resterait donc plus qu’à interpréter les premiers termes, ou à trouver ce que signifie la quantité
qui
n’est, ni l’accélération tangcntielle ^
fit
ni la' dérivée
totale ~ C’est cependant une certaine accélération du
mouvement projeté sur ds,. En attendant que sa signification soit trouvée, donnons-lui encore l’épithète de paramétrique, pour indiquer qu’elle dépend du choix du paramètre p„ comme la courbure Ajoutons que, pourrob-
si
tenir, il faut prendre la dérivée totale, par rapport au temps, du quotient de la vitesse composante e,, par le paraît.
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mètre difTércnlicI A,, dérivée que l'un multiplie ensuite par ce même paramètre difl'ércnticl.
Nous pourrons dire alors, que chaque composante R, de l’accélération totale, est égale à la somme des projections , sur sa direction, des trois accélérations''— •, plus
r accélération paramétrique du mouvement projeté sur l'arc dSi. On chercherait vainement un énonciT ayant la même généralité et la même concision, pour une des somnàes (8), avec sa dérivée restreinte, et ses deux accélérations composées. Ou peut en juger par l’extension qu’une seule accélération composée donne à l’énoncé de la formule fondamentale (lo).
