PRÉFACE

La géométrie analytique, créée par Desgartes dans un ouvrage paru en 1637, repose sur l'emploi de méthodes qui permettent de donner une forme algébrique aux problèmes de géométrie. Ces méthodes consistent à faire correspondre à chaque point du plan un système de deux nombres, appelés coordonnées du point ; une équation entre ces coordonnées représente une courbe ; les points communs à deux courbes s'obtiennent en résolvant leurs équations.

Tout problème de géométrie se trouve ainsi ramené à une question de calcul ; inversement, tout fait analytique peut être interprété géométriquement. Ainsi le problème des tangentes conduit à la notion de la dérivée, ou fournit une représentation géométrique de cette notion ; l'idée d'invariant algébrique ou différentiel conduit à la découverte de propriétés géométriques, laissées invariables par certaines transformations.

Mais le système de coordonnées cartésiennes dans le plan ou dans l'espace est loin d'être le seul qui

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permette de représenter géométriquement les faits algébriques et analytiques. On peut en effet développer ridée de Desgartes sous un autre point de vue., en définissant, par un système de nombres, non plus un point du plan ou de Tespace, mais un être géométrique quelconque, ligne droite ou courbe, surface plane ou courbe. Ces nombres qui sont, par exemple, les coefficients figurant dans les équations cartésiennes de l'élément géométrique considéré, s'appellent encore, par extension, les coordonnées de l'élément. Ainsi une droite dans un plan est définie par deux nombres qui sont ordinairement les inverses des segments qu'elle détache sur les axes ; un plan dans l'espace est défini par trois nombres analogues ; un cercle dans le plan est défini par trois coordonnées qui sont les coordonnées cartésiennes du centre et la puissance de l'origine par rapport au cercle ; une droite dans l'espace est définie par quatre nombres,... etc.

Une équation entre trois variables a, /;, c représente alors, soit une surface lieu de points, si a, b, c sont regardées comme les coordonnées cartésiennes d'un point de l'espace, soit une surface enveloppe de plans, si a, b, c sont regardées comme les coordonnées d'un plan, soit un système de cercles dans un plan fixe, si les variables sont regardées comme les coordonnées d'un cercle...., etc ; de même, une équation entre quatre variables peut être interprétée comme représentant une surface dans l'espace à quatre dimensions, ou un système de droites dans l'espace à trois dimensions... etc.