v\a'z^ — ^bijz -f- a"if
et pour que cette équation admette une racine double, il faut
qu'on ait
{az^ — ^b'zx -+- a"x^){a'z^ — 2byz -+- a'\/)
— (b"z^ — bzx — b'yz -+- a"xyY = 0 ;
développons, supprimons le facteur z^ qui n'est pas nul ; il reste
{a'a" — b^)x^ H- [a!' a — b'^)y^ + [aa' — b"')z' -\- %b'b" — ab)xjz
-i-^b"b — a'b')zx-h2{bb'—a"b")xy = 0 ou
Ax^ H- A'if -f- A"z^ + 2B?/s + 2B'zx -+- ^B"xy = 0.
Le premier membre est carré parfait en vertu des formules du numéro 25 ; sa racine donne le premier membre de l'équation de la droite PQ.
28. Pôle d'une droite par rapport à un système de deux points. — Soient P et Q les deux points donnés et A la droite. Cette droite rencontre PQ en un point H, et le conjugué harmonique de H par rapport à P et Q est par définition le pôle de la droite A par rapport aux points P et Q.
Connaissant l'équation
de l'ensemble des points P et Q, et les coordonnées Vq, Uq, Wq de la droite A, nous allons former l'équation du pôle de cette droite.
Considérons pour cela une droite quelconque D, de coor-
données u, v, w, qui rencontre A en un point M ; toute droite passant par le point M a des coordonnées de la forme lu 4- HLWo, Iv 4- [^^01 ^'^^' + !^'''oi et les valeurs de X et de [x correspondant aux droites MP et MQ seront racines de l'équation
f\Xu -h I-tWo, "^'V + ;ay^, Iw -h [XiOç^) = Q OU
Pour que la droite D passe par le pôle de la droite A, il faut que MP et MQ soient conjuguées harmoniques par rapport à
D et A, c'est-à-dire que les valeurs de - tirées de Téquation
précédente soient égales et de signe contraire. On aura donc pour l'équation du pôle,
y fa + Vf:, -h Wfn. = 0, •
et par conséquent les coordonnées homogènes de ce pôle sont
/UqI Jvo Gt /j,.jj.
29. Dans le cas où les deux facteurs de f{u, v^ ?/;) sont mis en évidence, si par exemple
f{u, V, w) = PQ,
P et Q désignant des fonctions linéaires et homogènes de u, V, IV, on verra sans peine que Féquation du pôle de la droite A est
pQ et Qo désignant ce que deviennent P et Q quand on y remplace w, v, w respectivement par w^, v^, ir^^.
30. Propriété du triangle. — Soit un triangle k^C ; désignons 'par A', B', C les pôles d'une droite A par rapport aux couples de points (B, C), (C, A), (A, B) ; les droites A A', BB', CC concourent en un même point H. Si A", B", C" désignent les points de rencontre de A avec les côtés BC, CA, AB, les droites B'C, C'A', A'B' passent respectivement par les points A", B", C". Enfin, soient Ai, Bi, Ci les points de rencontre des droites BB" et CC", CC" et AA", AA" et BB"; les droites AAi, BBi et CCi passent par le point H.
Soient
les équations des sommets A, B, G du triangle, et Wq, ^c
les
coordonnées de la droite A.
L'équation du point A' est
par conséquent le point qui a pour équation
JP
Po
est situé sur la droite AA', et comme son équation est symétrique par rapport à P, Q, R, ce point est aussi situé sur les droites BB' et ce ; c'est le point H.
Les équations des points B' et C sont
en les retranchant, on obtient
Qo
équation d'un point situé sur B'C et aussi sur BG et sur la droite A ; il en résulte que B'C passe par le point A".
L'équation générale des points
situés sur AA" est alors XP
Qo
de même l'équation générale des points situés sur BB" est
il en résulte que l'équation du point Cl, intersection des droites AA" et BB", est
Po
et l'on voit immédiatement que la droite CCi passe par le point II, puisque tous les points de cette droite ont pour équation
26 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — l»o "^ Uo Ho
GÉOMÉTRIE PLANE
en y faisant X = — , on obtient l'équation du point H.
On dit que Ja droite A est la polaire du point II par rapport au triangle ; les résultats qui précèdent donnent un moyen très simple de construire le point II connaissant la droite A, ou inversement.
EXERCICES ET NOTES
1. Triangles homologiques. — Si deux triangles ont leurs sommets sur trois droites concourantes, les côtés correspondants se coupent en trois points en ligne droite, et réciproquement ^ si les côtés de deux triangles se coupent en trois poitits en ligne droite, les sommets correspondants sont deux à deux sur trois droites concourantes.
Soient S = 0, A =r 0, B r= 0, C =r 0 les équations des points S, A, B, C.
Les points A', B', C auront pour équations A'=SH-aA = 0, B'=S + &B = 0,
C = S + cG = 0, puisque ces points sont respectivement sur les droites SA, SB, SG.
Les points a, p, y ont alors respectivement pour équations ^B — cC = 0, cG— «A = 0,
aA — &B = 0 ; ils sont en ligne droite.
Établir la réciproque par un procédé analogue.
2. Si les n sommets d'un polygone décrivent des droites concourantes et si n — 1 côtés passent par n — 1 points fixes, le n* côté passe par un point fixe, ainsi que les diagonales.
3. On considère toutes les coniques passant par deux points et tangentes à deux droites. Démontrer que la corde des contacts passe par un point fixe.
Prenons pour axes les deux droites, x^, y^ et xy, t/i désignant les coordonnées des deux points.
L'équation générale des coniques sera
^Xxy + [ux -\- vy -\- wY = 0.
Ecrivons qu'elle passe par les deux points et éliminons X ; on trouve
[uXq H- vy^ -\- wY [uxi 4- vy^
^o2/o a^ii/i
équation qui représente deux points, conjugués harmoniques par rapport aux deux points donnés.
La corde des contacts passe par l'un ou l'autre de ces points.
4. Étant donné un quadrilatère, on détermine les pôles d\me droite par rapport aux trois systèmes de points, extrémités des trois diagonales ; démontrer que ces pôles sont en ligne droite. Cas où la droite est à l'infini.
5. Étant donnée une équation du deuxième degré, f{u, v, w) = 0, qui représente deux points, déterminer la distance de ces deux points.
En conservant les notations des numéros 23 et suivants, le carré de cette distance est
• (va- - gf )2 4- (jây- - Y^-)2 - 2(Ya- - af )(lâf - y^) cos 0
qu'on peut mettre sous la forme
, A-hA' — 2B"cos e
Déduire de là la condition de réalité des deux points.
6. Trouver l'équation dit cercle admettant pour diamètre la droite joignant les deux points représentés p)ar l'équation f{u, v, ic) = 0.
7. Étant donnée l'équation de deux points, f[u, v, ic) rr 0, interpréter la condition f{u, v, w) > 0.
8. Soit ABCD un quadrilatère et A une droite quelconque, soit a le pôle de A par rapport aux points A e^ B, p le pôle de cette même droite par rapport aux points 0 et \) ; menons la droite ol'^ ; faisons une construction analogue sur les côtés opposés AG, BD et sur les diagonales AD, BC .• les trois droites obtenues passent par le même poirit.
