Bissectrices d'un angle. — Soient deux droites
Al (wi, Viy îVi) et Aa (^2, i»2, W2). Les équations des bissectrices des angles formés par ces droites sont
(w^a7-hUl1y-^?^'l)sinO (waaj-hVa.V-Hï^'â) sin G . ' ~^ ^ / =0. f£ = =b 1)
\/ul-+-v\ — 2mi?;iCOs6 s/ul-\-vl — 2W2U.2 cos 6
Posons pi = ^w2 4- Vf — "^u^Vi cos 6 , p2 — \/ul -h vj — ^«2^2 cos 6;
on voit que les coordonnées de ces deux droites seront
Pi p2 pi p2 Pi p2
En donnant à e le signe de u^U2-{-ViV^ — {u^v^ -h ihVi) cos 0, on aura la bissectrice de l'angle aigu (12) ; à l'autre valeur de £ correspondra la bissectrice de l'angle obtus.
22. Bissectrices des angles d'un triangle. — Soit le triangle ABC ; désignons par
Pi = uix -+- Uj?/ -hWi =0, P2 = U2X -h v^y -t- nh = 0, P3 = u^x -h v^y -h w^3 = 0
les équations des côtés BG, CA et AB.
Les bissectrices des angles formés par les droites AB et AC ont pour coordonnées
?2 p3 92 Pa ?2 p3
en adoptant les mêmes notations que dans le numéro précédent.
11 nous faut maintenant déterminer la valeur de s qui correspond à la bissectrice de l'angle A du triangle.
Pour cela, menons par le point A une parallèle AD au coté BC; les coordonnées de cette droite seront de la forme lu^ -h [j-ih, AV2 -\- [j-v-i, lw2 -h iJ-i(^i, avec la condition
lUo -f- [J.M3 lV2 -+- [J-V-i
ou
\\UyV2 M,Vi] = [^[Ms^I — Wi^s].
On peut prendre
X = WyUj M1U3, \i. = U1V2 U2V1.
Or la bissectrice de Tangle A du triangle et la droite AD sont dans des angles différents par rapport aux droites AB et AC. En vertu d'une remarque faite à la fm du numéro 12, cette bissectrice s'obtiendra en donnant à e, dans les expressions qui précèdent, le signe de » c'est-à-dire de
On aura de même les bissectrices des autres angles du triangle.
On peut établir sans peine que ces trois bissectrices concourent en un même point.
Les équations de ces bissectrices peuvent s'écrire
Pa
pi
COORDONNEES.
z, s' et £" étant égaux à ±1 et ayant respectivement le signe de
W1U3 UiV^ U^Vi W,U2 , UjVo — W0U3 .
r, ^ et — '—,
U1V2 — U2V1 u^v-i — W3U2 ii-iV^ — Wira
de telle sorte que
Multiplions respectivement les équations des bissectrices par 1, — £, z-J et ajoutons, on a une identité ; donc les trois droites passent par un même point.
23. Équation de l'ensemble de deux points. — Si le premier membre d'une équation homogène de degré n par rapport à u, v, w se décompose en un produit de n facteurs linéaires, l'équation représente n points dont les équations s'obtiennent en égalant à zéro les facteurs linéaires.
Par exemple, si l'équation ne renferme que u et u\ le premier membre sera développable en un produit de facteurs binômes tels que ua -h ivc^ et par suite l'équation représentera un certain nombre de points situés sur Ox.
De même toute équation qui ne renferme que v et w représente un ensemble de points situés sur Oij.
Nous allons considérer une équation du deuxième degré,
f{u,v,ic) = au^-i-av^-i- aV-h2bviv + '^l/wu -+- W'uv = 0, (6)
et supposer que le premier membre est décomposable en un produit de deux facteurs, c'est-à-dire que
On a alors une identité de la forme
f[u, V, iv) = (mx -+- u? + w^() {ux' -+- v^' -h iv-{) ; l'équation représente les deux points qui ont respectivement pour coordonnées homogènes a, p, 7 et «', ji', ï'.
On déduit de cette identité
a = aa', a! ■= ,3^', a" = 77',
2Ô = ?/ + Y?', n' = Ya' + a/, 2b" = ap' -f- px'.
Si a" 7^ 0, les deux points sont à distance finie.
24. Si tous les mineurs du discriminant A ne sont pas nuls, f{u, V, iv) est décomposable en un produit de deux facteurs distincts,
f{u, V, ?r) = P.Q, en posant
l* = UOL -\- v^ -\- 2V^ , Q = ux' -j- v'^' 4- w^.
En prenant les dérivées partielles, on a
f: = aQ + a'P,
U = ïQ + ï'P,
ce qui montre que les trois équations
fu = 0, f:: = o, f,i = 0
ont un seul système de solutions ; ce sont les coordonnées de la droite qui passe par les points F et Q.
Si au contraire tous les mineurs de A sont nuls, /"(w, v, w) est carré parfait, l'équation (6) représente un point double, les dérivées partielles /"J, /!', f',. sont proportionnelles , et en les égalant à zéro, on a un système d'équations vérifiées par une droite quelconque passant par le point double.
25. Dans ce qui suivra, nous désignerons selon l'usage par A, A', A", B, B', B" les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de a ; on aura alors
A = a'a"—b\ B =b'h" — ah,
A" = aa' — b"\ B" = bb' — a"b".
On sait que l'on a également les formules
A'A" — B^ = aA, B'B" — AB = 6a,
AA' — B"2 = a"A, BB' — A'B' = h\.
Si A est nul, comme nous le supposons ici, les trois nombres A, A', A" sont de même signe.
Supposons maintenant que les deux points soient à distance finie, c'est-à-dire a" 7^0, et proposons-nous de déterminer dans quel cas ils sont réels.
On peut écrire
f{u,v,iv) = 1.^ {a"iu-^bv^b'uY—^^^~^„ ^^ -hau'-^a'v^-^W'uv, a"f(u, V, iv) = {a IV -+- bv -h b'uf -^ A'u' — 2B"uv -h Av\
Les deux nombres A et A' ne peuvent être nuls en même temps, car la relation
AA' — B"2 = a"A = 0
entraînerait, B" = 0 ; /(w, v, w) serait alors carré parfait et les deux points seraient confondus.
Supposons k' :^0 ; on aura
a"f{u,v,w) = {a"iv-^bv-{-b'uy^ — -, (A'i/— B"y)^
On voit alors que si A' < 0, /"(w, y, ?t>) est décomposable en un produit de deux facteurs réels, Téquation représente deux points réels.
Si A'> 0, elle représente deux points imaginaires.
Supposons maintenant a" = 0 ; on peut écrire
f(u, v,w) = au^ -h a'v^ -h 2b"uv -h 'îLic{bv -h b'u), et comme on a
A = — ab^ — a'b" -h 'ibb'b" = 0,
on voit que bv-\-b'u divise au^-\-a'v^ -\- tb"ui\ car en remplaçant dans cette dernière expression u par 6 et u par — b\ on obtient
ab^ H- a'b" — 2bb'b" = — A = 0.
Si donc b et b' ne sont pas nuls en même temps, Téquation représente deux points réels dont l'un est à Finfmi. Enfin si b = b' = 0^ Féquation se réduit à
air -+- a'v^ H- 2b"uv = 0 ;
elle représente deux points à l'infini, réels, imaginaires ou confondus, selon que aa' — b"^ ou A" est négatif, positif ou nul (*^ /
Il résulte de là que si l'un des trois nombres de même signe, A, A', A", est différent de zéro, l'équation représente deux points distincts, réels si ce nombre est négatif et imaginaires dans le cas contraire.
Si les trois nombres A, A', A" sont nuls, tous les mineurs du discriminant sont nuls et l'équation représente un point double.
En résumé :
A -i- A' -f- A" < 0 ; l'équatio n représente deux points réels ; A -h A' -f- A" >> 0 ; — — deux points imaginaires ;
A-hA'-hA" = 0; — — un point double.
26. Cherchons maintenant l'équation de la droite qui joint ces deux points.
Cette équation peut s'écrire
Pour pouvoir exprimer les coefficients en fonction de a, a', ..., multiplions le premier membre par py' — yp' et remarquons que
(?T'-tP? = {h + -{?Y-W?'r(' = Mb^-a'a') = -4A, (Pï'-#)(T''-n') = 2TY'(-P'+P-')-(fY' + Y?')(ï>'H-«Y') = i(a"h" — bb') = -iB",
= i[a'h' — lfb) = — 4B'.
(1) On trouvera le tableau résumant celte discussion au numéro 98.
L'équation de la droite peut donc s'écrire
Ax-hB"y-hB'z = 0.
En multipliant de même le premier membre de Téquation de la droite par ya' — ay', puis par ap' — ^a', on obtient successivement pour équation de la môme droite
Les premiers membres de ces équations sont les demi-dérivées partielles de la fonction
cp(a7, y, z) = kx^ -h A'î/2 -I- A"z2 ^ 2B?/s + Wzx -f- 2B"ic?/,
qui est ce qu'on appelle la forme adjointe de f[u, v, w).
Comme ces trois dérivées sont proportionnelles, cette forme est carré parfait ^^\ et en égalant sa racine à zéro on obtient l'équation de la droite qui joint les deux points.
Si donc on désigne par u\ v\ w' les coordonnées de cette droite, on aura l'identité
Xcp(a?, y, z) ^ {u'x-\- v'y 4- iv'zY, d'où l'on déduit
w'2 = XA, u'2 ^ XA', iv'' = AA",
v'iu' = AB, îu'u' = XB', u'v' = XB".
27. On peut obtenir ce résultat par un autre procédé plus simple.
Désignons par P et Q les deux points représentés par l'équation (6) ; joignons ces deux points à un point quelconque M(x, y, z) du plan; les coordonnées des droites MP et MQ satisferont aux deux équations
/(m, V, w) = 0, ux-\- vy-\-wz = 0.
(1) Cela résulte aussi de ce que les mineurs du discriminant de cette forme sont nuls, d'après les formules du numéro 25 où Ton suppose A = 0.
Ces équations admettent en général deux systèmes de solutions ; si l'on écrit que ces deux systèmes sont les mômes, on aura la condition pour que le point M soit sur la droite PQ, c'est-à-dire l'équation de cette droite.
De la deuxième équation, tirons la valeur de ic en supposant - ^ 0, et transportons dans la première ; on obtient, en ordonnant par rapport à w,
w2(as2 — <ib'zx + a"x^) -+- 1uv{b"-J — bzx — b'yz h- a"xy)
