Équation tangentielle de la courbe y = e

9. H est en général difficile de construire une courbe représentée par son équation tangentielle.

Dans le cas particulier où l'on peut résoudre l'équation par rapport à l'une des variables w, v, w, les coordonnées du point de contact d'une tangente

fu fv

I IV I lu

peuvent s'exprimer alors en fonction de deux variables seulement ou mieux du quotient de ces deux variables ; on peut alors aisément construire la courbe. En voici un exemple simple :

On trouve que l'enveloppe d'une droite qui coupe un folium de Descartes {x^~\-y^ — "iaxy ^z Q] et l'une des tangentes au point double (l'axe Ox) en quatre points conjugués harmoniques est f{u, V, w) = "ia^uvw — ^a^u^ — w^ ■=. 0 ',

on en tire

^-uio

et par suite

^ ~ f;,~ 2u[a:Hi'—w-^)'

fv Za^whi

^^ ~ fw~ 2[à^u^ - w')

Posons —=zt: il vient u

Il suffit alors de faire varier i de — oo à H- oo ;

dx — (^3,^,2^3)2 ^ ^ .3^2^(^3^2^3)

dt ~ 2(a3 — «3)2 ' (i^ — 2(^3 — «3)2 •

On a trois points de rebroussement, correspondant aux racines de l'équation

«3 + 2a3 = 0 ; un seul de ces points est réel.

On pouvait d'ailleurs trouver ces points de rebroussement en résolvant les équations

/*(w, V, w) = "ia^uvw — 2a'^u^ — lo^ =: 0

ftt f„ f„

Jvu f v^ fvw flou I lov fn}

= o4a*fio3 + 2a3M3 + ahivvo) = 0.

10. Étant donnée une série de courbes variables dont l'équation tangentielle renferme un paramètre X, f{u, v, w, X) = 0, on obtient l'équation tangentielle de l'enveloppe de ces courbes en éliminant X entre les équations

11. On donne un triangle ABC, on joint le sommet A à un point IS pris sur le côté opposé. Soit M le milieu de AN, on mène les •droites BM et CM qui rencontrent respectivement AC et AB en P et Q. Enveloppe de la droite PQ quand N décrit la droite BC.

12. La condition nécessaire et suffisante pour que la droite de l'infini soit tangente multiple d'ordre p d'une courbe algébrique est qu'en ordonnant l'équation tangentielle par rapport aux puissances de w, le plus haut exposant de cette variable soit égal à m — p, m désignant la classe de la courbe.

Par exemple, si la droite de l'infini est tangente multiple d'ordre m — 1, l'équation s'écrit

^m{u, v)-\-lCOm-i{u, v) = 0,

les fonctions o étant homogènes et de degré indiqué par l'indice.

13. Etant donnée une courbe du quatrième degré ayant trois points doubles à tangentes inflexionnelles, par un point de cette courbe on peut lui mener quatre tangentes autres que celle dont le point de contact coïncide avec le point considéré. Démontrer que les quatre points de contact sont en ligne droite.

La courbe donnée a pour équation langentielle

ku^ 4- Bv3 4 Cio^ = 0 et pour équation ponctuelle (41)

Soit (a, [3, y) un point de cette courbe ; on aura

et les tangentes issues de ce point vérifient les équations

Au3-}-By3 + Cio3 = 0, (2)

wa + î?p 4- W5Y = 0. (3)

Le point de contact d'une de ces tangentes a pour coordonnées