AT
-j» — ) — '' il s'agit donc de démontrer qu'il existe des nombres u^ v^ lo'^
fixes Mî, n, p tels que les solutions des équations (2) et (3) vérifient la relation
Posons
Aw3 =z a,
Bv^ = b,
Cu.^3 :
ua. = a',
toY =
Les
équations (2), (3)
et (l) peuvent s'écrire
«3 5:1 c3 a-2 + ij'i + c'2
OU
abc
bV
aj \b'
en éliminant a', b\ c' entre ces équations, on a 1 \ 1
abc ~â' b' 'c' — 0
uy /b Y /c Y
b c On ne peut avoir -—=:-? car on aurait aussi
ou
le point de contact de la tangente coïnciderait avec le point a, p, y. On aura donc
ou
a. h c ^ abc
ce qui montre que les points de contact sont sur la droite
14. Une tangente à la développée d'une ellipse rencontre la courbe en quatre points autres que le point de contact. Démontrer que les tangentes en ces quatre points sont concourantes.
Ce théorème se déduit du précédent en permutant les variables X, y, z et î/, r, to, puisque l'équation ponctuelle de la développée d'une ellipse est de la forme
Les deux théorèmes sont corrélatifs.
15, Far un point P, situé sur la circonférence inscrite à une
hypoci/cloïde à quatre rebrous sements, menons quatre tangentes PA, PB, PC, PD à cette courbe.
1° La partie de l'une des tangentes^ PD par exemple, comprise entre les tangentes à l'hypocyclo'ide en ses points de rebroussement est divisée en P en deux parties égales.
2° Les autres tangentes PA, PB, PC rencontrent le cercle en trois points A, B, C qui sont les sommets d'un triangle équilatéral.
3° Si le cercle rencontre la tangente en Vun des points de rebroussement en £, et la parallèle à cette tangente menée par P en F, l'arc EF est triple de Vun des arcs EA, EB, EC.
On peut envisager rhypocycloïde à quatre rebroussemenls comme Penveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires.
L'équation tangentielle de cette courbe est io^{u^ H- v'^) — a'^uH^ = 0, et le cercle inscrit a pour équation
16. Rayon de courbure. — Proposons-nous de déterminer le rayon de courbure en un point d'une courbe définie par son équation tangentielle.
Nous supposerons lo = \, et Téquation de la courbe définira n et V comme fonctions d'un m.ème paramètre.
Considérons une tangente,
ux -{- vy -{- i z:^ 0 ;
le point de contact satisfait à l'équation
xdu -t- yJv m 0 ; on en déduit
— dv du
udv — vdu udv — vdu
d'où
, v[dudH — dvd^u) — u{dud^o — dvd-u)
~ [udv — vdu}''^ ^ [udv — vduy
On en déduit
/-; ; {dud-v — dvd^u)i/u'^ -f- V-
ds = sjdx'"- -\- oy- =i - -
[udv — vdu)'
D'autre part l'angle de contingence s, c'est-à-dire l'angle de deux tangentes infiniment voisines,
ux + vy H- 1 =0, [u 4- du) X -\-{c -\- dv) y 4- 1 =0,
est déterminé par la relation
udv) — velu
en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur; par suite le rayon de courbure est
r/.v [dudH — dvd^u][H^-\-v'^Y^ ' e [udv — vduY
17. En écrivant l'équalion d'une droite sous la forme X cos oc + î/ sin a — p zr ô, on peut prendre pour coordonnées tangentielles polaires de la droite les quantités a et^.
L'équation tangentielle d'une courbe sera de la forme
P --^ f[^)' Pour obtenir les coordonnées du point de contact d'une tangente^ on résout les deux équations
a; cos a H- î/ sin a — i) = 0, — œ sin a 4- î/ cos a — ;p' =: 0, cette dernière étant obtenue en différentiant la première par rapport à a, et p' désignant la dérivée de p. On en tire
ic = p cos a — j9' sin a,
y =z p s\n a-hp' cos a,
d'où
dx , ,,, .
— = — (^+p ) sin a,
~ =: (p + p )cosa, et par suite, en faisant la somme des carrés,
s désignant l'arc et p le rayon de courbure. L'équation du point peut s'écrire
p =i A cos a H- B sin a ; celle du cercle,
p = A cos a H- B sin a -|- C ;
d'une conique en général.
p = A cos a + B sin a db y/C cos- a-{-2\) sin a cos a + E sin=^ a . Les épicycloïdes ont une équation tangentielle de forme très simple.
PRINCIPE DE DUALITE
On sait qu'une épicycloïde est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un cercle mobile roulant sur un cercle fixe.
Considérons un cercle de rayon r roulant sur une circonférence fixe de rayon R. Soit A la position initiale de l'un des points de la
circonférence mobile ; lorsque cette circonférence sera venue, dans son mouvement, toucher la circonférence fixe en A', le point A sera venu en M, de telle sorte que les deux arcs AA' et A'M soient égaux.
Désignons par ? l'angle AOA' ;
l'angle A'G'M est alors égal à
a; = (R H- r) cos o — r cos î/ = (R + r) sin cp — r sin l '5
cp-, et les coordonnées du point M
sont
Rc?^
Ro^
On en déduit
dy do
•d'où l'on tire
cos o — cos
X sin (?+ 2^) — Y cos (? +-^] — (R + 2r) sin
de telle sorte «:|ue l'équation de la tangente peut s'écrire
Ro
On voit aisément qu'elle passe par le point K, résultat bien ■connu.
Ro TT
Posons cp + — i. m a + — ;
l'équation devient
X cos a + Y sin a — (R + 2r) sin ^^ (a -+- -^ j
Il en résulte que l'équation tangentielle polaire de l'épicycloïde
«st
p = (R + 2r) sin
R + 2r Si le cercle mobile est tangent intérieurement au cercle fixe, le
lieu du point M est une hypocycloide dont l'équation tangentielle se déduit de la précédente en changeant r en — r, ce qui donne
^^(R 2r)sin^^^(a + -|
Ces équations sont de la forme
p = A sin (aa-h b), et on voit aisément que quels que soient A, a, b, cette équation représente une hypocycloide si a > 1 , une épicycloïde si « < 1 ; seulement, si b est quelconque, l'axe des x ne passe pas par un point de rebroussement de la courbe.
On aurait pu obtenir plus rapidement l'équation tangentielle (I) en abaissant OH perpendiculaire sur la tangente KM, et en calculant cette longueur en fonction de l'angle ROx.
On a
OH = OK sin OKH,
p = (RH-2r) sin — ^,et l'on voit aisément que
Hep TT
18. Chercher les équations tangentielles polaires de la cardioidey des hypocycloïdes à trois et quatre rebrous s ements et de la cycloïde.
