D'un point on peut mener 2m — p normales à la courbe

yin — maxv =0 (m > ^).

Démontrer que les pieds des normales sont situés sur une conique indépendante de la valeur de a.

12. On donne deux droites Ox, Og et une conique ; on mène une tangente variable à la conique qui rencontre Ox en A et Oy en B. On mène par A e< B des parallèles à Og et à Ox qui se coiipent au point M. Trouver le lieu géométrique de ce point.

On trouve une courbe du quatrième degré; déterminer ses asymptotes.

13. Nous avons obtenu au numéro 83 la condition qui exprime que deux droites (m, v, w) et (mo, Vq» ^o) se coupent sur la conique

f{u, v, w) ■=. «M- H- a'c^ 4- ••• = 0. Cette condition est

[ihfû + v^f'.-i-io^fi)^ — kf[u, 1?, l0)f[Uf,, Vo, ^^o) = 0- (1)

On peut mettre cette condition sous une autre forme remarqua-

ble en partant de l'équalion ponctuelle de la conique

o{x, y, z) = Ai6-2-hAy + --- = 0.

Nous écrirons pour cela que la polaire du point de rencontre (ar, y, z) des deux droites par rapport à la conique passe par ce point, c'est-à-dire qu'on a l'identité

Xcp,; + Yoj; + Zoc = 2X {iix -+- vY + loZ) + 2X'(uoX -t- ^oY + lOoZ),

ce qui donne, en égalant les coefficients de X, Y, Z,

Ax -h B"y -h Kz — lu — a'uq = 0, B"x -h M y + Bj — Iv — X'vo = 0, B'ic + Bf/ H- A"^ — lio — X'io„ = 0,

avec les relations

ux H- vy + xcz = 0,

idx -h v'y -\- lo'z r= 0.

Ces cinq équations doivent avoir des solutions non toutes nulles en X, y, z, X, )/ ; pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'on ait A B" B' u Uq B" A' B V v^

Uo

telle est la condition pour que les deux droites se coupent sur la conique.

Il est aisé de déduire analytiquement la condition (l) de la condition (2).

Multiplions les éléments des trois premières colonnes du détermi- 1 1 I

nant respectivement par - fu, ^ A, - fw, et ajoutons ces produits aux éléments de la quatrième colonne, après avoir multiplié ces derniers par — A.

Les trois premiers éléments de la quatrième colonne sont alors nuls^ car on voit aisément que

^(aa;-

B"fi + B'U) = \ic,

-A'fv-hBfrô) = AV,

■Bf,i-hA"r>v) = Mo.

De même, multiplions les éléments des trois premières colonnes respectivement par -fû^, -fr^, -fw^ et ajoutons ces produits aux éléments de la cinquième colonne multipliés par —a.

92 COORDONNÉES TANGENTIELLES. GÉ03IÉTRIE PLANE

Si l'on pose

^oA'

j/ro'5

et si l'on remarque que le déterminant a été multiplié par A^, on aura