Connaissant l'équation tangentielle de la développée
d'une courbe, on peut résoudre diflerentes questions relatives
aux normales de cette courbe, en opérant comme nous l'avons
fait sur les. tangentes au début de ce chapitre.
Soit
l'équation de la développée d'une courbe.
Les coordonnées des normales issues d'un point a, p satisferont aux deux équations
o[u, V, ÎV) = 0,
vix-\-v^-hiv=0.
L'équation aux coefficients angulaires de ces normales sera
o[m, — J , B — mx) = 0,
et l'équation de l'ensemble de ces normales s'en déduira en
remplaçant m par ; on obtiendra
?[?/— P, — (^ — «), ^.r~-ccy] = 0.
De même, l'équation
donne les ordonnées à l'origine des normales qui ont pour coefficient angulaire m, et
cp(m, — 1, ?/ — mx) = 0
est l'équation de l'ensemble de ces normales. On obtient ainsi pour l'ellipse et la parabole
y = mx ± — 1
y=zm{x — p) — .
EXERCICES ET NOTES
1 . Étant donnée la courbe x"^ — yi' =. 0, si d'un point de la courbe on lui mène deux tangentes, la droite qui joint les points de contact est tangente à la courbe.
On prend deux points arbitraires sur la courbe, on détermine le point de concours des tangentes, et en écrivant que ce point est sur la courbe, on obtient la même condition qu'en écrivant que la droite joignant les points de contact est tangente à la courbe.
2. Trouver Véquation aux coefficients angulaires des tangentes issues cVun point à une cissoïde, et Véquation du cercle 'passant par les trois points de contact.
3. Etant donnée la courbe kx^ — 27?/^ r= 0, trouver le lieu d'un point tel que, parmi les tangentes issues de ce point à la courbe, il y en ait deux parallèles à deux diamètres conjugués de la conique
x^ -+-y^ -\- 2axy := B.
4. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une courbe de classe n est en général de degré n[n — 1).
5. Courbes parallèles. — Sur la normale en un point quelconque M d'une courbe C, on porte une longueur constante MP ; le lieu du point P est une courbe Ci . Démontrer que les tangentes à ces deux courbes aux points correspondants M et P sont parallèles ; c'est pour cette raison que les courbes G et Ci sont appelées courbes parallèles.
Déduire Véquation tangentielle de Ci de Véquation tangentiell^ de C.
On peut établir géométriquement que les tangentes aux deux courbes aux points correspondants sont parallèles. (J. Bertrand, Calcul différentiel, p. 12).
Soient M, M' deux points voisins de la courbe C ; prenons sur les normales en ces points les points P et P' tels que MP — M'P'. 11 s'agit de montrer que lorsque M' se rapproche indéllniment de M, l'angle MPP' a pour limite un angle droit.
Abaissons M'K et P'K' perpendiculaires sur MP ; on a KK' = M'P' cos cp, o désignant l'angle des deux normales ; donc
MP — KK' = MP(1 — coscp),
et comme MM', PP', o sont infiniment petits du premier ordre, MP — KK' ou MK— PK' est infiniment petit du deuxième ordre.
Or MK = M.M' cos M'MK.
M^MK a pour limite un droit, donc MK est infiniment petit du deuxième ordre ; il en est alors de même de PK'.
Mais on a
PK' = PP' cos P'PK'.
Comme PP' est du premier ordre, il faut que P'PK' ait pour limite un droit.
Analytiquement, soient x, y les coordonnées du point M, a, ^ les cosinus directeurs de la normale ; les coordonnées X,'Y du point P seront déterminées par
l désignant la longueur MP.
On en déduit
d\ = dx -i- Ida,
dY z=z dij-j- m.
Multiplions respectivement ces équations par a et ?, puis ajoutons :
acLX + ^d\ — ndx + 'pdy -\- L{^doi + ?cZ?).
Or, on a a^ + ,32 — i ; on en déduit ac?a + Pg?,3 = 0. D'autre part, on a aussi a.dx -h ^dy = 0, puisque la normale est perpendiculaire à la tangente ; on en déduit
ad\ -H '^dX — 0,
, . , ,. dX dy
cest-a-dire -^ =: -t^-
dX. dx
Soit alors f[ti, v,w)-=.0 Téquation de la courbe C ; à toute tangente, ux-\-vy-\-io = 0, de cette courbe correspond une tangente, îix-tvy -i-io' — 0, de la courbe Ci, telle que la distance de ces deux tangentes soit égale à Z ; on a donc
ic — lo'
les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.
On en déduit la valeur de lo, et Ton voit que l'équation tangentielle de la courbe Ci est, après avoir supprimé l'accent de lo,
Si la courbe G est une ellipse,
la courbe parallèle sera
ou [aHi^ -}- bH^ — %o'- — P{îi'- -h r2)i2 4;2^p2(^j2 ^ ^2),
6. Trouver l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux axes rectangulaires .
C'est une courbe du sixième degré, de quatrième classe ; hypocycloïde à quatre rebroussements.
Trouver la développée de cette courbe.
7. Trouver l'équation tangentielle de la développée de la cissoïde de Diodes.
8. Podaires. — On appelle podaire d une courbe par rapport a un point, le lieu des projections du point sur les tangentes à la courbe.
Trouver l'équation de la podaire d'une courbe définie par son équation tangentielle.
On appelle podaire négative d'une courbe par rapport à un point une seconde courbe qui a pour podaire la première.
Etant donnée l'équation ponctuelle d'une courbe^ déterminer l'équation tangentielle de sa podaire négative. Examiner en particulier le cas oii la courbe donnée est une droite ou une conique.
9. La différentielle de l'arc d'une podaire y da, est donnée par la formule
d<j = OM.ds,
ds désignant la différentielle de l'arc de la courbe, 0 le point par rapport auquel on py^end la podaire et M le point correspondant de la courbe donnée.
10. Const7^uire la podaire de l'origine relativement à la courbe qui a pour équation ponctuelle x'-^ -\-y'^ — d-^ = 0.
