AA

93. L'équation générale des courbes de deuxième classe est /(m, V, w) = au^ -h a'v' -h a"w^ ^2fjviu-\-2b'wu-h^b" uv = 0. (1) Nous rappellerons ici les notations et les formules fort importantes écrites déjà au numéro 23 :

B = b'b" — ab, B' = b"b — a'b\ B"= bb' — a"b\

B'B" — AB = ÔA, B"B— A'B'= b'\, BB' — A"B"r= b'\.

A désigne le discriminant de la fonction f[u, u, lo) ; on a

et les grandes lettres A, A', A", B, B', B" représentent les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de A.

C'est ainsi qu'on peut écrire

\ = ka + B"b"-\-B'b', A = B"b" -H k'a' + B6, A = B'b' H- B6 -h M'a",

en développant le déterminant par rapport aux éléments des lignes ou des colonnes.

Rappelons encore que Féquation ponctuelle de la conique est

tf{x, y, z) = A.r^ -4- A'>f H- \"z^ -h SBys + 2B'za? -+- '^2B"xy =r 0, et que l'on a

Si A — 0, cp(a7, ?/, z) est le carré d'une fonction linéaire qui, égalée à zéro, représente la droite qui joint les deux points dont réquation (I) est l'équation tangentielle.

94. Nous avons déjà étudié le cas où a = 0 (23 et suivants) ; nous nous bornerons maintenant au cas où a 7^ 0.

Une première classification est donnée immédiatement par la considération des points à l'infini.

Nous avons vu (85) que l'équation des points à l'infini de la conique représentée par l'équation (1) est

A'm2 2B"wî; + At)2 = 0.

Le discriminant du premier membre est |AA' — B"^ ou a'\.

Si a"\ > 0, les points à l'infini sont imaginaires ; la conique est du genre ellipse.

Si a'^ < 0, les points à l'infini sont réels et distincts ; la conique est du genre hyperbole.

Enfin, si a"A = 0, c'est-à-dire si a" = 0 (puisque nous supposons A 7^ 0), les points à l'infini sont confondus ; la conique est du genre parabole.

Dans ce dernier cas, d'ailleurs, l'équation (i) est satisfaite par les coordonnées de la droite de l'infini w = 0, v =0 ; on en conclut que la courbe est tangente à cette droite.