Deuxième cas. a

Nous diviserons encore ce cas en deux parties.

1° Les deux coefficients a et a' ne sont pas nuis en même temps, par exemple a ^ 0.

Commençons la décomposition en carrés en ordonnant le premier membre par rapport aux puissances de u ; on aura

f[u, V, tc) = -(au-h 0 V + b'io)^ — ^ h a'u2 -+- "Ibvw ,

af{u, t\ 'ic: = (au^b"v-^b'ivY-h[aa'—b"-^)v-^—%b'b"—ab)viv—b'Hv^, et en supposant b' z^ 0,

/•/ \ , un 1, ^. f i, b'b" — ab y a/{u, V, w) = {au -h b v -+- b'wf — I b'iv h w )

r , , ib'b"--aby-\ -| î;2 ^aa' — b"^ + ^ — — ^J .

Remplaçons les deux premiers termes par un produit de deux facteurs, et remarquons que le coefficient de v^ peut s'écrire

a(ab^-^a'b"^ — 'ibb'b") ¥^ '

cest-a-dire —tt^', il vient alors

Faisons la transformation de coordonnées :

b'u + bv

sib'-' -f- b^ -+- 266' cos 6

""'"^é H"^ (^^b"-^y-}-2b'iv] ; l'équation prend la forme

u'2 -f- 2aw'2^' = 0,

qui représente une parabole dont l'équation ponctuelle est (40)

a?y'^ -t- 2ar' = 0 ; on voit ainsi que la direction asymptotique qui est O'x' a pour paramètres directeurs b' et b.

Si b' = 0, on a

de sorte que ni a ni b ne peuvent être nuls. On écrira alors

/•(m, î;, w) = nu^ -4- v{^b"u-i-a'v -h^bîv).

Nous ferons la transformation de coordonnées :

l'équation devient

au'2 4- 'ibw'v' = 0 ;

elle représente une parabole dont l'équation ponctuelle est (40)

la direction asymptotique est O'y', c'est-à-dire Ojy, puisque les nouveaux axes sont parallèles aux premiers.

On peut donc dire que cette direction a pour paramètres directeurs b' et b.

2° Supposons maintenant a = a' = 0.

On a

^ = Ub'b"\

aucun des trois nombres b, b' ou b" ne peut être nul. i On aura

/■(u, î;, ic) = 'ibviv -\- ^b'icu H- ^b"uv.

On peut écrire

2 26Ô" f[u, V, iv) = -y (^'" H- bv){b'w -H b"v) — u2 = 0.

Faisons la transformation :

b'u -h /yu

sjb'^+b^^'lbb' cosO b"v + 6'?^

L'équation prend la forme

v'^ -{- 2au'/(;' = 0 ; elle représente une parabole qui a pour équation ponctuelle

la direction asymptotique a encore pour paramètres directeurs // et b.

En définitive, on voit que si

Téquation (i) représente une parabole dont la direction asymptotique a pour paramètres directeurs b' et b.

98. On peut résumer la discussion dans le tableau suivant, les résultats relatifs au cas où A est nul se déduisant des considérations présentées au numéro 25.

lOO COORDONNÉES TANGENTIELLES. GÉOMÉTRIE PLANE