CL A. J

Faisons maintenant la transformation de coordonnées indiquée par les formules suivantes :

v/A'^-hli"^ — t2A'J3" cos e v' = V,

Cela revient à prendre pour nouvelle origine 0' le point qui a

pour coordonnées —rr et -77 , pour direction de Taxe des x'

une parallèle à la droite qui joint l'origine 0 au point de coor-

(1) Nous plaçons au dénominateur de l'expression de u' la quantité \/k"' -+- h"^ — 2A'B" cos 6^ afin que le point qui a pour coordonnées

et , soit k Tunité de dis-

y/A'^ -+- H"' — 2A'B" cos 8 y/A'^* -f- H' — 2A'B" cos 0

tance de l'origine, conformément aux formules (6) du numéro 34

données . et

y/A'2 H B"^ — ^A'B" ces 6 v/A'2-+-B"^ — 2iVB" ces 8 Taxe des ?/' restant parallèle à Oy.

L'équation de la courbe devient alors

(A'2 H- B"2 — 2A'B" cos 0)w'2 + a'\v'^ -h A'a"^?^/^ r= 0.

On reconnaît là Téquation tangentielle d'une conique don^ Téquation ponctuelle est (40)

B"^ — 2A'B" cos 0 a"A A'a"^

Si «"a > 0, la conique est du genre ellipse. Cette ellipse est réelle si A' < 0, imaginaire dans le cas contraire.

Remarquons que dans ce cas A et A' sont de même signe et qu'on peut s'adresser à l'une ou à l'autre de ces quantités pour distinguer la réalité de la courbe. .

Si a''^ <C 0, la courbe est une hyperbole.

Il estutile d'observer que, cette courbe étant rapportée à son

centre, les coordonnées de ce centre sont par rapport aux

premiers axes -^ et -^ .

2o Supposons maintenant A = A' = 0; B" doit être différent de zéro puisque

AA' — B"^ = a"\ -t 0.

Nous pouvons écrire

a"f{u, V, ic) = [a!'w-\-b'a-^bvf—-—[u^vY^—(u — v)K

Faisons alors la transformation de coordonnées

v^2 + 2 cos 6

v/î2 — 2 cos 0

l'équation devient

a"hv" -'B"{i H- cos 0)w'2 + B"(i — cos 6)u'2 = 0,

et réqualion ponctuelle de cette courbe est

B"(l + cos ô) B"(l — cos 0) a"2

Elle représente visiblement une hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués.

Remarquons que dans ce cas a!\ est négatif, puisque cette quantité se réduit à — B"2.

Il en résulte que les conclusions de la première partie du premier cas sont générales pour ce cas, c'est-à-dire :

a"A > 0, ellipse réelle ou imaginaire, selon que les deux quantités de même signe A ou A' sont négatives ou positives ;

a"^ < 0, hyperbole.