Exemples numériques
1° Considérons l'équation ^
u^ -\- w^-\- 2vw — 2uv r= 0.
Comme le coefficient de w^ n'est pas nul, on voit tout de suite que la conique est une ellipse ou une hyperbole, ou se réduit à deux points à distance finie. On pourrait, pour distinguer ces difl'érents cas, former l'expression de A ; mais il sera préférable d'opérer directement, car de la discussion résultera sans peine la position de la courbe dans le plan.
L'équation peut s'écrire, en décomposant en carrés, [w -h vf -hu- — 2uv — «2 — 0 ou {w-i-vY+{ic — v)^ — 2v^z=zO.
Supposons les axes de -coordonnées rectangulaires, et faisons la transformation :
v' zn V,
l'équation devient
et l'équation ponctuelle correspondante est x'^ — 2/'- + 2 = 0.
On reconnaît l'équation d'une hyperbole équilatère rapportée à deux diamètres conjugués.
Pour la construire, remarquons que le centre a pour équation ic -\-v = 0 ;
ses coordonnées sont donc 0 et 1, c'est le point 0'. La direction O'x
a pour point directeur le point
tion
fr =
— — I et l'axe des y' est
parallèle à Oy. 11 est alors aisé de construire la ' courbe. Les asymptotes sont les bissectrices de O'x' et oy ; la courbe rencontre O'y' aux points dont les ordonnées par rapport aux nouveaux axes sont ±:/2, les tangentes en ces points étant parallèles à OV.
On peut remarquer que l'équation étant satisfaite pour wrrO, 1^ = 0, la courbe est tangente à Ox au point qui a pour équa-
c'est-à-dire pour coordonnées — 1 et 0. 2® Construire la courbe qui a pour équation
u^ — ittv -h 4^2 — 2uio H- viv =z 0.
Comme le coefficient de w^ est nul, l'équation représente une parabole ou un système de deux points dont l'un est à l'infini. Décomposons en carrés; l'équation s'écrit
[u — 2v — io)2 — (2y -i- io)2 4- 4^2 + mo = 0 {u — 2v — w)'^ — 10- — dvio = 0
{u ~2v -w)^ - (^lo-^^y-^^ = 0.
Les deux premiers carrés peuvent se remplacer par un produit et
ou
ou encore
l'équation devient
{2u — v]{2u — '1v — ^ic)-\-9v^ = 0.
Faisons la transformation de coordonnées :
2u — 71? — 4io
Nous supposons les axes primitifs de coordonnées rectangulaires.
1 7 Le point 0' a pour coordonnées — - et -» l'axe O'x' a pour
paramètres directeurs 2 et — I, O'y' est parallèle à Oy. L'équation transformée delà courbe s'écrit
9ij'2 — Ww'^=z 0. L'équation ponctuelle est
î/' V^— 0^' = 0-; elle représente une parabole aisée à construire. On peut remarquer en outre que l'origine 0 est située sur la
courbe, attendu que les tangentes issues de ce point à la courbe, ayant leurs directions déterminées par
= [u — 2i?)2 = 0, sont confondues. La tangente à l'origine a pour paramètres directeurs i et —2.
En écrivant l'équation de la courbe sous la forme
{u — 2vf — io{2u—v) = 0,
on reconnaissait immédiatement que l'équation représentait une parabole, puisque 2h— v ne divise pas l'ensemble des termes du second degré en it et v.
S*» Reconnaître la nature de la conique dont l'équation tangentielle
est
m2 -f- Xv2 f- (X2 4)i^2 2Xmo -h 4wio — 3mv = 0,
suivant les différentes valeurs du paramètre ^.
Il sera plus commode dans les questions de ce genre de se repor-
ter au tableau du n° 98 qui résume la discussion; nous allons calculer A et A ou A'.
On a d'abord
A iz:i(4X3 — 13X2-8X + 36);
le second membre s'annule pour X := 2 ; on peut écrire
et comme on a
2)2(X+2)(4X2-SX — 18).
Le trinôme 4X2 5X i8 a ses racines réelles et de signes contraires ; nous les désignerons par X' et X". Enfin il faut aussi connaître le signe de A ou de A' ; nous considérerons ici A' qui est plus
simple que A,
Les valeurs remarquables de X, rangées par ordre de grandeur, sont
On en déduit immédiatement le tableau qui suit
Nature de la conique
Hyperbole.
> Parabole.
— V Ellipse réelle.
^ 2 points réels à distance finie.
— [ Hyperbole.
2 points réels dont l'un est à l'infini.
Hyperbole.
> 2 points imaginaires à distance finie. Ellipse imaginaire.
100. Les tangentes menées à la conique par Forigine sont déterminées par les équations
au^ -\- «V -h ^b"uv = 0, 10 = 0.
Si aa' — b"^ > 0, ces tangentes sont imaginaires ; si aa' — h'"^ <C 0, ces tangentes sont réelles et leurs coefficients angulaires sont racines de l'équation
am^ — Wm -+- a' = 0.
Enfin, si aa' — b"^ = 0, au^ -+- a'v^ 4- '2b"uv est carré parfait, les deux tangentes sont confondues, la courbe passe par Torigine.
Ainsi l'équation tangentielle générale des coniques passant par l'origine et admettant en ce point une tangente de coefficient angulaire m est
{u -\- vmf -h a"iv^ 4- ^bvw + ^b'ivu = 0.
Ce résultat peut s'obtenir immédiatement en observant que d'après le principe de dualité (oO et suivants), à une parabole correspond une conique passant par l'origine.
101. Conditions pour que l'équation générale du second degré en m, v^ iv représente un cercle.
Pour avoir l'équation tangentielle d'un cercle, nous écrirons qu'une droite, ux-i- vy-{-w = 0, est à une distance constante d'un point donné.
On a ainsi
{uQt-hv^-\- wY sin^ 6 2
1/2 j ^2 — 2mu cos 0 '
a et p désignant les coordonnées du centre, R le rayon et 0 l'angle des axes.
Cette équation peut aussi s'écrire
^ !— — [u^ 4- «" -- 2uv cos 6) = 0.
Pour que l'équation f{u, V, w) = au^ -h a'v^ -h a"w'^ -h "Ibvio 4- Vj'wu 4- 'ib"uv = 0 (1)
représente un cercle, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer les nombres a, [3, R et >^, en sorte qu'on ait Tidentité
^ [-(wa + vî3-i-z(;)2 sin^ 6 1
/ [II, V, tv) = X ^ (w- -I- î;^ — 2wy cos ô) J
ou
., . V . (ifa4- ^(3+ ?(;)^sin- 0 f{u,v, w)-\-l{u^-i-v- — 2yv cos 0) = X • ^
On déduit de là que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) représente un cercle est qu'il existe un nombre X en sorte que f{u, v, w) -h \u^ -\-v^ — ^uv cos 6) soit le carré d'une fonction linéaire.
Remarquons d'abord que a" doit être différent de zéro, sans quoi l'expression qui précède, devant être carré parfait, ne pourrait renfermer la variable lo ; on devrait avoir b —b'=0\ f[u^ V, tv) se réduirait à une fonction homogène de w et de u et l'équation représenterait deux points à l'infini.
Le coefficient de w^ n'étant pas nul, pour que l'expression /■(w, V, iv) -h X (u^ -f- ?;2 9,uv cos 0) soit carré parfait, il faut et il suffit que les mineurs de son discriminant qui contiennent a!' soient nuls.
On aura
a"[b" ~ X cos 6) — bb' = 0.
Ces trois équations doivent donner pour X la môme valeur :
on aura donc
/ // ,0 „ ,n bb'-a"b"
cos 0
ou
cos Q
Dans le cas où les axes sont rectangulaires, ces conditions s'écrivent
Ces résultats pouvaient s'obtenir immédiatement en parlant de l'équation ponctuelle.
Supposons ces conditions remplies, et proposons-nous de déterminer les coordonnées du centre et le rayon du cercle représenté par l'équation (1).
On a l'identité
/'(w, V, w) -h X (m^ + v'^ — 2uv cos 0) = — {a"w-i-ô'u h- bv)^,
X étant ésral à l'un des nombres ou rr
On aura donc /(m, V, îv) ^ a" l — u -i- — V -\- w \ 4- ^ {u^-{-v- — Si/f cos 6),
de telle sorte que l'équation du cercle s'écrit
1) -4- w 1 fiin^ 6 -
A sin'2 e
— w + — , î; H- w; sm^ 6 \a" a" !
u^-^v^ — 2wî; cos 0 d''^
Il en résulte que les coordonnées du centre sont — et -„,
et que le rayon R est donné par
A sin^ 6
On voit ainsi que le cercle n'est réel que si A est négatif.
102. Pour que l'équation (1) représente une hyperbole équilatère, il faut que les directions asymptotiques soient rectangulaires.
Or nous avons vu (85) que l'équation aux coefficients angulaires des asymptotes était
AV + 2B"mH- A = 0.
Pour que ces directions soient perpendiculaires, il faut
qu'on ait
A 4- A' — 2B" cos 0=0,
0 désignant l'angle des axes.
Si les axes sont rectangulaires, la condition devient
EXERCICES ET NOTES
1. Déterminer la nature des coniques représentées par les équations
u^ ^2 | 3^c2 2uw =: 0,
u^ H- w^ — uv = 0, vie -\- tcu + 2uv = 0,
[u - vY — 2V10 =: 0,
«2 |- xo2 — ,y^ç, — 2icu + uv =r 0.
2. Discuter la nature des coniques représentées par l'équation
«2 4- 2^2+ (X2 — i)id^ — 2Xvic 4- 2uio — Zluv = 0, quand le paramètre \ varie.
3. Discuter la nature des coniques représentées par l'équation
au^ — 1)2 | p^ç2 2avw — 2uv rr 0, lorsque le point {a, P) se déplace dans le plan.
4. On donne un cercle, une droite D et un point A; par le point k, on mène une droite quelconque qui rencontre la droite D au point B. Trouver l'enveloppe de la droite qui joint le point B au pôle de la droite AB par rapport au cercle.
Cette enveloppe est une conique ; discuter la nature de cette conique en supposant que le point A se déplace dans le plan, le cercle et la droite D restant fixes.
Soient a;^ + î/2 p^a q, i/ — m = 0
les équations du cercle et de la droite, et a, p les coordonnées du point A.
Soit ux -\- vy -{- 10 =z 0 l'équation d'une des droites dont on cherche l'enveloppe ; elle rencontre la droite D au point
B ( y = m, a? = j ; je forme l'équation de la droite AB,
et j'écris que son pôle est sur la droite ux-^vy -\-w =z 0. On trouve ainsi pour équation tangentielle de l'enveloppe,
R2(m — ^)w2 j R2^^2 f ^y^2 4 (f(2 j ni^)vw H- my.iou -\- R2awv = 0.
Pour discuter cette conique, je forme
A = — (m ~ iâ)[a2(R2 — m2) — (R2 mp)2],
Remarquons que si on considère a et P comme coordonnées
courantes, l'équation
a2(R2 m^) — (R2 — m'^f — 0 représente l'ensemble des tangentes menées au cercle aux points de rencontre avec la droite D.
En supposant que cette droite rencontre le cercle en des points réels, on voit aisément que si le point A est dans les régions du plan couvertes de hachures, l'enveloppe est une ellipse, car a"A est positif; au contraire si le point A est dans les autres régions, l'enveloppe est une hyperbole.
On peut remarquer que les ellipses sont toujours réelles, puisque
le mineur A par exemple est égal à R'^mp ou à
— ^ ; -, quantité négative.
L'enveloppe est une parabole si ? = 0, c'est-à-dire si le point A est sur le diamètre du cercle parallèle à la droite D.
Enfin si le point A est sur les autres droites de la figure, l'équation représente deux points.
On examinera d'une manière semblable le cas où la droite D ne rencontre pas le cercle.
Tous ces résultats peuvent d'ailleurs s'obtenir aisément par de simples considérations géométriques.
5. Trouver l'enveloppe d'une droite s' appuyant sur deux droites données et ayant son milieu sur une autre droite donnée.
- 6. On donne une ellipse et un point A ; par ce point on mène une droite quelconque, du pôle B de cette droite par rapport à l'ellipse on abaisse une perpendiculaire sur cette même droite ; trouver l'enveloppe de cette perpendiculaire.
Soit ux + vy -\- w z:^ 0 l'équation d'une des droites A dont on cherche l'enveloppe; du point A (a, p) j'abaisse une perpendiculaire
sur cette droite et j'écris que le pôle de la perpendiculaire est sur la droite A. On obtient ainsi l'équation tangenlielle de l'enveloppe,
c^uv + avio — '^uw r= 0,
qui représente une parabole tangente aux axes de l'ellipse, et qui reste la môme pour toutes les coniques homofocales.
7. Enveloppe de la droite qui joint les projections d'un point quelconque d'une loarahole sur l'axe et la tangente au sommet.
8. Enveloppe d^une droite qui joint les points homologues de deux divisions homographiques. Discuter la nature de la conique obtenue.
9. Enveloppe d^une corde d'une conique vue d'un point fixe sowî un angle droit. Cas où le 'point est sur la conique.
10. L'une des asymptotes d'une conique circonscrite à un triangle passe par un point fixe ; trouver l'enveloppe de l'autre asymptote.
Soit OAB le triangle; prenons OA et OB pour axes et soient x^^y^ les coordonnées du point fixe.
L'une des asymptotes aura pour équation y — Va — m(a; — a:o)r=0; soit ux -\-vy -\- w = 0 l'équation de l'autre asymptote ; l'équation de la conique s'écrit
[y — î/o — m [x — Xq)]{ux -\- vy -\- ic) -i~ k =: 0.
Écrivons que cette conique passe par les sommets du triangle donné ; on a trois équations entre lesquelles on éliminera aisément m et k. On trouve pour équation tangentielle de l'enveloppe
[u {a — X(^) + io][v (& — î/o) H- ic] — oo^^y^uv = 0. Discuter la nature de cette conique et la construire.
11. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que le produit de ses distances à deux points fixes soit constant.
12. Trouver l'enveloppe d'une droite telle que la somme des carrés de ses distances à deux points fixes soit constante.
13. On donne deux droites Ox, Oy et un point A. Un cercle quelconque ^mssant par 0 et A coupe les droites en B et G. Enveloppe de la droite BC.
Soit wic -h ut/ H- 10 = 0 l'équation de la droite BC. Le cercle
110 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉO^IÉTRIE PLANE passant par les points 0, B, G a pour équation
a?^ -f y^ + 2xy cos Oh x-{-— y =z 0;
j'écris que ce cercle passe par le point A {xq, î/q) I on a l'équation tangentielle de l'enveloppe,
«^o + 2a7oî/o cos '^ + 2/0+^^0 + ^2/0 = 0,
qui représente une parabole tangente aux deux droites.
14. De chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires sur deux autres droites ; enveloppe de la droite qui joint leurs deux pieds.
15. On donne une conique tangente à deux droites Ox et Oy. Une tangente quelconque à cette conique rencontre ces droites en A et B. ■Lieu du quatrième sommet du parallélogramme construit sur OA et OB.
16. On donne un cercle et un point A. Par ce point on mène une sécante ABC; on joint le point B au point C diamétralement opposé à G. Enveloppe de la droite BG'.
17. Étant données deux tangentes à une conique, on leur mène des parallèles par les différents points de la corde de contact; trouver V enveloppe de la diagonale du parallélogramme ainsi formé, qui est opposée au point de concours des tangentes. Cas où la conique est une parabole.
