CHAPITRE YI POLES ET POLAIRES

103. Droites conjuguées. — On dit que deux droites sont conjuguées par rapport à une conique lorsqu'elles divisent harmoniquement les tangentes menées à la conique par leur point de rencontre.

Soit la conique représentée par l'équation

f[u, V, w) = au^-\-a'v^-ha"iV^-^2hviv-h^2b'îcu-{-'^b"uv = 0. (1)

Considérons deux droites ayant pour coordonnées Wo, ^^o^ ^^'o et Ml, Ui, Wi, et proposons-nous de trouver la condition pour que ces deux droites soient conjuguées par rapport à la conique.

Une droite quelconque passant par l'intersection de ces deux droites a pour coordonnées XMyH-fJtWi, Xv„ -h [jlUi et Iwq -h ixiVi ; les valeurs de 1 et de [jl correspondant aux tangentes issues de ce point à la conique seront déterminées par l'équation

/"(Awo H- [lUi , Ivq -h [iVi , IiVq -+- ixivi) = 0, ou, en développant,

Pour que ces deux tangentes soient conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites données, il faut que les

deux valeurs de — déterminées par l'équation qui précède 1^

soient égales et de signe contraire (14) ; on doit donc avoir

OU

Cette relation développée s'écrit

104. Pôle d'une droite. — Théorème, — Les droites conjuguées d'une même droite A passent par un point fixe quon appelle le pôle de la droite .

Soient Wq, v^, îVq les coordonnées de la droite a, et w, v, ic celles d'une droite conjuguée. On a la condition

ce qui montre que la droite (m, v, iv) passe par un point fixe qui a pour coordonnées f^ , f'. , fl- . Ce point est le pôle de la droite a et l'équation (2) est l'équation de ce pôle.

D'après ce qu'on a montré plus haut (88), ce point est l'intersection des tangentes menées à la conique aux points où la droite a coupe cette conique.

105. Pour que ce point existe, il faut que les trois dérivées

ne soient pas nulles en même temps.

Si l'on a

-f,[,^ = h'u^ 4- bv^ 4- a"w^ = 0,

le déterminant du système de ces trois équations est nul et l'équation (1) représente alors un système de deux points; les valeurs de Wo, Vo-> ^^'o ^^i annulent les trois dérivées sont précisément les coordonnées de la droite qui joint ces deux points.

On voit donc que si l'équation (1) représente une véritable conique, une droite quelconque du plan admet un pôle bien déterminé.

11 en est de même dans le cas où Téquation représente un système de deux points, sauf le cas où la droite se confond avec la droite joignant les deux points.

Ce résultat est d'ailleurs conforme à la définition du pôle d'une droite par rapport à un système de deux points (28).

106. Proposons-nous maintenant de chercher si deux droites distinctes peuvent avoir le même pôle par rapport à une même conique.

^0» ^0» ^0 6t Wi, Wi, Wi désignant les coordonnées de ces droites, on doit avoir, pour qu'elles aient le même pôle,

ar nr fk^

ou

Or les premiers membres de ces équations peuvent s'obtenir en remplaçant dans les fonctions fû, /,', f[^ les variables Uy v^ IV respectivement par iiq-{-Iui, Vç^-i-'kVi,

W(^ -f- llVi .

On doit donc avoir pour une valeur déterminée de ^,

cela nous montre que l'équation doit représenter un système de deux points et que la droite qui joint ces deux points a pour coordonnées Uq-^Iuu VQ-i-lVi, iVq~\-awi] cette droite doit donc passer par le point de rencontre des deux droites données.

Donc pour que deux droites aient le même pôle par rapport

à une conique, il faut que cette conique se réduise à deux points et que les deux droites se coupent sur la droite joignant les deux points.

107. Polaire d'un point. — On appelle polaire d'un point la droite qui a ce point pour pôle.

Soit le point {.z'^, ?/„, z^) ; si u^, d^, id^ désignent les coordonnées de la polaire de ce point, on aura

- fl^ = O'u, + bv, + a"îv, = lz,. 1

Tout revient à résoudre ce système par rapport à Mq, i^oi ^o-

Premier cas. — Supposons qu'on ait

b" a' b Tf: 0,

c'est-à-dire queTéquation (1) représente une véritable conique. On peut alors résoudre le système (3) d'après la règle de Cramer ; on aura

^v, = X(B%4- A'//o^-BZo),

^w, = X (B'x, -h Bt/o -h A"Zo), qu'on peut écrire, en désignant par o{x, y, z) = kx^ -\- k'y' -h A"z2 h- ^]iyz-+- ^B'zx-h^W'xy = 0 l'équation ponctuelle de la conique,

l'équation de la polaire sera donc

j?oj! -h i/o' -^ zo'. = 0,

' n ■' ' "'ri ' n

résultat qu'on établit en géométrie analytique.

Rappelons que deux points sont conjugués quand la droite qui les joint rencontre la conique en deux points conjugués harmoniques par rapport à ces deux points ; chacun d'eux est alors situé sur la polaire de l'autre, et la relation qui lie les coordonnées x^, y^. z^ et x^, y^ Sj de ces deux points est

OU

Ax^Xi 4- A'y^,y^