Premier cas. a" z

La conique est une ellipse ou une hyperbole.

Les équations (2) représentent deux hyperboles équilatères

ayant toutes deux pour centre le point de coordonnées

-^ et — 1 c est-à-dire le centre de la conique donnée.

Les asymptotes de l'une sont bissectrices des asymptotes de l'autre ; elles se coupent donc seulement en deux points réels, symétriques par rapport au centre.

Ces hyperboles sont appelées hyperboles focales.

On peut calculer les coordonnées des foyers ; en effet, les équations des hyperboles focales peuvent s'écrire

Nous voyons que ces deux courbes ne peuvent se réduire en même temps à un système de deux droites, car pour qu'il en soit ainsi, il faudrait que

la conique donnée serait alors un cercle ; ce cercle passe par les points cycliques, et les tangentes en ces points se coupent au centre, qui peut être considéré comme un foyer singulier. Pour résoudre les deux équations ci-dessus, posons

les équations deviennent

On en déduit

et par suite

x^+Y^=ME^±ï!:

y, ^ - (A -A^)-f- v/(A - Mf + AW^

OU, en extrayant la racine.

A — A^-hv/(A — A7h-4B^' 2a"2

Le produit XY devant avoir le signe de B", on prendra les mêmes signes devant les radicaux si B" est positif, et des signes contraires si B" est négatif; on aura ainsi les coordonnées des deux foyers réels.

Les équations

sont les équations des hyperboles focales rapportées à leur centre.

En les divisant membre à membre, on obtient