Deuxième cas. a
La conique est une parabole.
Les équations (2) qui déterminent les foyers deviennent — 'ib'x-^Uy-^a — a' = 0,
-.bx — b'rj-+-b"=-- 0; ' '^^
elles sont du premier degré ; la parabole n'a donc qu'un foyer, comme nous l'avons déjà vu.
Le déterminant du système est 2(6'2 h- b^) ; il n'est jamais nul, car b et b' ne sont pas nuls en même temps. En résolvant, on a
(a — a')b'-\-^bb" ^~ 2{h'-i-b") '
(a — a')b—Wh"
ce sont les coordonnées du foyer.
151. Les équations (3) représentent deux droites rectangulaires passant par le foyer. L'une d'elles a pour coefficient angu-
b laire — - ? et nous savons que l'axe a pour coefficient
angulaire — ; il en résulte que les deux droites représentées
par les équations (3) font avec les axes de coordonnées les mêmes angles en sens inverse que l'axe de la courbe et la tangente au sommet.
152. On pourrait déduire de là l'équation de l'axe, en prenant une droite quelconque passant par Tintersection des droites (3)
— 2b' X -t- 2by -\- a — a' -\-\ {— hx — b'ij -^ b") = 0,
et en déterminant >^ en sorte que cette droite ait pour coefficient
angulaire —,•
On trouve ainsi
et l'équation de l'axe devient
bx-by-^^ prp&^i ^
comme on l'a déjà trouvé au numéro 130.
153. Si la courbe est rapportée à son axe et à sa tangente au sommet, son équation est
pv- — 2i(io = 0 ;
on trouvera sans peine que les coordonnées du foyer sont x = ^, y = 0.
154. Les équations qui déterminent les foyers d'une conique renferment linéairement les coefficients de l'équation tangentielle de cette conique. Par conséquent, dans la recherche de lieux géométriques de foyers, il y aura souvent avantage à définir la conique variable par son équation tangentielle, surtout quand les conditions imposées à cette conique s'exprimeront simplement à l'aide des coefficients de cette équation ; par exemple, si la conique est assujettie à être tangente à des droites, les points de contact étant fixes ou variables; à avoir son centre en un point donné; etc.
155. Applications. — 1** Lieu des foyers des coniques tangentes aux quatre côtés d'un parallélogramme.
Nous prendrons pour axes les droites passant par le centre du parallélogramme et parallèles aux côtés ; les équations de ces côtés seront
Écrivons que ces droites sont tangentes à la conique
f{u, V, w) =z au^ -f- a'v"^ -h a"w^ -\- 2bvw -+- 2h'wu -\- 2b"uv =r 0 ;
il vient
a H- a"a2 + 2b' oi = 0 ,
a'-ha"<^^ — 2b? — o,
On en déduit
ce qui montre que ces coniques ont pour centre l'origine, et
Remplaçons dans l'équation a et a' par leurs valeurs — a"oL^ et — a"p2. il vient
«"[«2^2 + (32^2 ^^2j ^ 2b"uv = 0;
b" en posant „ = À, on a l'équation générale des coniques consi-
dérées,
a%2 | J32y2 -Mj2 , 2\uv =. 0.
Pour avoir les foyers de cette conique, on peut, soit écrire les équations (1} du numéro 147, soit former directement l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point [x, y), et écrire que ces tangentes sont parallèles aux droites isotropes. On trouve ainsi que les deux équations
a-m'^ 4- [52 (^y ^^7)2 — 2lm = 0, m2 + 2m cos G -h 1 = 0 doivent avoir mêmes racines, ce qui donne
cos 0 En éliminant X entre ces deux équations, on aura l'équation du lieu. Cette élimination est toute faite: on a x^ — y^ ■=z n? — Pj qui représente Thyperbole équilatère circonscrite au parallélogramme.
2° Lieu du foyer d'une 'parabole de grandeur constante qui se déplace en restant tangente à deux droites rectangulaires. Prenons les droites données pour axes. Soit
/•(m, V, w) = aw2 -j- a'ij2 ^ 2hvio + "Ih'wu -h 2h"uv = 0
l'équation de la parabole : pour qu'elle soit tangente aux axes, il faut
qu'on ait
Écrivons que le paramètre est égal à p; on a (137)
Ibh'h" ±p = 3,
et le foyer est déterminé par les équations
— 2b' X H- 2by — 0,
— bx — b'y + b" = 0.
On aura le lieu du foyer en éliminant b, b' et b" entre ces trois équations.
Des deux dernières on tire
X y x'^ -f- y^ remplaçons dans la première, qui peut s'écrire
p2 (^,2 4. ft'2J3 4^,2^,'2^,"2^
&, &', h" par des quantités proportionnelles ; on a
OU
équation d'une Kreuzcurve aisée à construire.
156. Directrices. — On appelle directrice relative à un foyer la polaire de ce foyer, ce qui revient à dire que la directrice est une droite telle que les tangentes menées à la conique aux points de rencontre avec cette droite soient parallèles aux droites isotropes.
Proposons-nous de déterminer analytiquement les coordonnées des directrices.
Soient {u, v, îv) une directrice et {u^^, u^, iVq) une tangente dont le point de contact est sur la directrice ; on a
Uofu-+-Vofv-^iVofw = 0; en éliminant Wq entre ces deux équations^ nous aurons
ou
équation qui détermine les coordonnées u^ et v^ des tangentes aux points de rencontre de la courbe et de la directrice.
Tout revient à écrire que cette équation a mêmes racines que l'équation
WqH- '^0 2"0^0 COS 0 z=: 0.
L'équation précédente, développée, s'écrit
aulf^J^ -+- a'vlfl^' -{- a!\uji + v,nf — Uv,fL{uJL + vj,)
On aura donc " /« --f^ / u/ w -T- "'/ w — cos 6
Ces équations déterminent les coordonnées des directrices.
Elles peuvent s'obtenir plus rapidement en remplaçant dans
fû fv
les équations (1) qui donnent les foyers, x et y par 17 et -^ > puisque toute directrice est polaire d'un foyer.
157. Cherchons l'équation de la directrice de la parabole, les axes de coordonnées étant rectangulaires.
On aura pour déterminer les coordonnées de cette droite les équations
- Wa + 26/"^ H- (a - a') A = 0,
-bfi~b'f', + b"f[, = 0',
en remplaçant les dérivées par leurs valeurs développées, on obtient
u[—[a + a')b'-{-ilbb"]^v[b{a-^a')—Wb"]-^^ic{b^—b'^) = 0,
abu-i-a'b'v-\-2bb'iv = 0.
En résolvant ces équations et en supprimant le facteur A,
on obtient
2b' ^ 2Ï""— (a-ha')*
L'équation de la directrice est donc
'ib'x-\-Uy — (a-ha') = 0.
158. Théorème de Steiner. — • Si un triangle est circonscrit à une parabole, le point de concours des hauteurs est sur la directrice.
Prenons pour axes un côté AB du triangle et la hauteur issue du sommet opposé G.
Soient a et p les jabscisses des points A et B, Y l'ordonnée du point G ; l^giixôiè«5 AG^ et GB ont pour équations
L'équation d'une parabole inscrite dans le triangle ABC sera de la
forme
aic^ H- a'v^ + ^bvic + 2b'wu + 2b"uc = 0,
avec les conditions
