Déterminer le foyer singulier de la dssoïde de Diodes
29. Si l'on donne 2n — 1 tangentes d'une courbe de classe Uy et si la droite de Vinfini est tangente multiple d'ordre n — 1 , le lieu des foyers est un cercle.
L'équation tangenlielle des courbes pour lesquelles la droite de l'infini est tangente multiple d'ordre n — 1 est
?n(M, v)H-WCp„i(w, v) = 0,
les fonctions cp étant homogènes et de degré indiqué par l'indice (Chapitre 11. Exercice 12).
L'équation renferme 2n + 1 coefficients ; écrivons que cette courbe est tangente à 2n — \ droites ; il ne restera plus que deux coefficients variables, c'est-à-dire un seul paramètre linéaire. On peut donc supposer que les coefficients de l'équation précédente sont fonctions linéaires d'un paramètre.
11 est alors aisé de trouver le lieu du foyer.
Appliquer à la parabole et aux courbes de troisième classe pouilesquelles la droite de l'infini est tangente double.
30. Une parabole dont le foyer est F est tangente aux deux côtés d'un angle droit yOx ; on élève au point 0 une perpendiculaire à la droite OF ; cette perpendiculaire rencontre la tangente aie sommet de la parabole en un point F'. On demande de faire voir : 1° que la droite FF' est tangente en Y à la courbe décrite par ce point, lorsque la parabole glisse sur son plan en restant tangente aux côtés de l'angle droit yOx ; 2° que la tangente F'G à la courbe décrite par le point F' rencontre la droite OF en un point C tel que OF = 40C.
163. Considérons deux coniques ayant pour équations tangentielles
/*(w, v, w) = au^ H- a'v"^ + ol'ic^ + ^bvw -+- 2b'ivu -+- 2b''uv = 0,
/i(w, y, iv) = a^u^ -h a[v^ h- a'iio^ H- ^Ib^vw -\- '2b[ivu-\-2b'îuv = 0.
Les coordonnées des tangentes communes aux deux coniques sont les solutions communes à ces deux équations ; ces tangentes seront donc déterminées en résolvant le système formé par les équations tangentielles des deux coniques.
Supposons que l'axe des y ne soit pas tangent à Tune des coniques, les coefficients a et ai ne sont pas nuls; ordonnons les équations précédentes par rapport à w; elles peuvent s'écrire
w^ + Piu+Qi-0, ^ ^
en posant, pour simplifier l'écriture,
^ '^{b"v-^b'w) ^ ^{b'[v-hb[w)
a Qi
a'v^ H- a"w^ + ^bviv a' v^ -\- a'[w^ ■+- 2biVîV Q — , (Jj — .
Éliminons u entre les équations (1) ; on obtient
R(v, ic) = (Q,Q)2(P,-PXPO,-OP0 = 0. (2)
Cette équation est homogène et du quatrième degré par rapport à v et iv\ pour toute solution (vq, iv^) de cette équation, les équations (1) ont Uiie racine commune u^. L'ensemble de valeurs Wq, Vq, z^o constitue alors un système de solutions communes aux équations tangentielles des deux coniques ; par suite la droite
est tangente à la fois aux deux coniques.
R(f , w) est décomposable en un produit de quatre facteurs linéaires; soit vol-^-îv^ Fun d'eux; à ce facteur correspond la solution
de l'équation (2), et pour avoir la valeur de u correspondante, deux cas sont à examiner.
1° Supposons que ces valeurs v^ et îVq mises à la place de y et de 2^ dans P et Pi n'annulent pas Pi — P ; on sait alors que les deux équations (1) ont une seule racine commune, qui est donnée par
Oi-Q
en remplaçant dans le second membre v et w par v^ et w^^.
Dans ce cas, au facteur va^iv^ du résultant R(î;, îv) correspond une seule tangente commune aux deux coniques.
2' Si au contraire les valeurs Vq et Wq annulent Pi — P, elles annulent aussi Qi — Q d'après l'équation (2); si on remplace alors v et iv par v^ et w^ dans les équations (1), ces équations sont identiques, elles admettent deux racines communes u^ et «„; par suite les deux coniques ont deux tangentes communes,
K^ H- Vo?/ -H ?''o2 = 0,
et ces deux tangentes se coupent sur l'axe des y.
Dans ce cas, au facteur du résultant correspondent deux tangentes communes se coupant sur l'axe des y.
164. Il est important de remarquer que dans cette dernière hypothèse le facteur au H- '^w est facteur double de R(u, w).
En effet, puisque les valeurs v = ^ et lu = — a annulent Pi — P et Qi — Q, ces fonctions sont divisibles par au-i- ^w, et Ton peut écrire
Pi — P ^ p(au -h pztJ),
p étant une constante et q une fonction linéaire.
On en déduit
PQi — QPi = (P7 — Qp){^v + M et aussi
R{v, w) = {^v -h ^wYlq^'—piPq — Qp)],
ce qui démontre la proposition.
La réciproque n'est pas vraie, il peut arriver qu'un facteur double de U{v, iv) ne divise pas Pi — P.
165. Dans la pratique, pour résoudre Féquation (2), on opère comme s'il n'y avait qu'une seule inconnue. On commence par supprimer le facteur w, s'il existe, puis on résout
l'équation par rapport à — ; c'est une équation aune seule
inconnue qui peut admettre des racines réelles ou des racines imaginaires conjuguées deux à deux. Si l'on a, par exemple,
la solution — = h^ on pourra prendre pour valeurs de v et de îv, V = h et 10 = \,
Si h est imaginaire, la tangente correspondante est imaginaire; si h est réel, il faut encore pour que la tangente soit réelle que la valeur correspondante de u soit réelle ; cela arrivera toujours si le système [v = h, w = i) n'annule pas Pi — P ; mais si ce système annule Pi — P, on a deux valeurs de u correspondantes, racines d'une équation du second degré, et ces deux valeurs ne sont pas toujours réelles.
Dans tout ce qui suivra, nous appellerons racines de Téqua-
tion (2) les valeurs de — ; dans le cas où R(u, w) admet-
ÎV
trait le facteur w, il faudrait aussi considérer comme racine réelle la valeur w = 0, v étant arbitraire.
166. Discussion. — Premier cas. — L'équation (2) a quatre racines simples.
D'après ce que nous avons vu plus haut (164), aucune de ces racines ne peut annuler Pi — P ; à chaque racine de l'équation (2) correspond une seule valeur de u.
Les deux équations (1) ont donc quatre systèmes distincts de solutions communes, les deux coniques admettent quatre tangentes communes différentes.
Pour qu'une tangente commune soit réelle, il faut et il suffit que la racine correspondante de Téquation (2) soit réelle, puisqu'il cette racine ne correspond qu'une valeur de w; il résulte de là que les deux coniques admettront : ou bien quatre tangentes communes réelles, ou bien deux réelles et deux imaginaires conjuguées, ou bien quatre tangentes imaginaires conjuguées deux à deux.
167. Deuxième CAS. — L'équation (2) a une racine double et deux racines simples.
Aux deux racines simples correspondent deux tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées. Quant à la racine double, il peut se présenter deux cas selon que cette racine annule ou non Pi — P.
1° Si la racine double n'annule pas Pi — P, à cette racine correspond une seule valeur de w, et par suite une seule tangente commune.
On dit quelquefois que cette tangente est double ; cela revient à la considérer comme réunion de deux tangentes communes; nous pouvons d'ailleurs justifier cette manière de voir, en démontrant que cette tangente touche les deux coniques au même point.
En effet, puisque l'équation (2) a une racine double, celte racine satisfait aux équations
En adjoignant à cette racine la valeur
Qi-Q
on a les coordonnées de la tangente commune.
Nous allons démontrer que ces coordonnées satisfont aux équations
fu fv fiv
/lu fiv /iw
Considérons d'abord la première égalité,
fiu flv
on peut l'écrire
2m-+-Pi ~ p/m + q;'
les accents désignant des dérivées par rapport à v. En chassant les dénominateurs, on a
2w2(p/ p'N 4 u[mi—Q') H- PP/ — PiP'J + PQi' - PiQ' = 0
ou, en remplaçant u par sa valeur — — ^ — i
Pi — P
2(Qi-Q)^(P/-P')-(Qi-Q)(Pi-P)[2(Qi'-Q')-HPP;-PiP']
+ (PQ/-PiQ')(Pi-P)^=0. (3) D'autre part, on a
R(i;, m;) = (Q, - Q)2 (P, - P)(PQ, - QP J = 0,
R>, w) = 2(Q, - Q)(Q{ - Q') - (P, - P')(PQi - QP,)
— (Pi - P)(PQ,' -+- QiP' — QP; — PiQ') = 0.
Multiplions Rl^iv^ tv) par Pi — P, et ajoutons au produit le premier membre de la relation (3), que nous désignerons par H ; on obtient
H -+- (Pi - P)R,f(«, w) = 2(Qi - QYiPi - P') -(P;-P')(PQi-QPi)(P,-P)-(Qi-Q)(Pi-P)(PPi'-PiP') -(Pi-P)2(P'Qt-QPi').
Les deux derniers termes du second membre peuvent se
transformer aisément en l'expression suivante :
-(Pt-P)(Pl-P')(PQi-QPi), de telle sorte que
H + (Pi — P)R/,(y, w;)
= 2(P/ - P')[(Qi - Q)^ - (Pi - P)(PQ. - QPi)] ou
H-i-(Pi— P)R,'(i;, w) = 2(P( — P')R(w, w).
On voit donc que si R{v^ w) et Rv{v, w) sont nuls, il en est de même de H, et par suite la relation (3) est vérifiée. On établira de même la relation
fu fw
1 \u 1 \IV
en remarquant que la racine double du résultant annule aussi
Rw{v, lO).
Dans ce cas, les deux coniques sont tangentes et admettent deux tangentes communes réelles ou imaginaires.
2« Si la racine double annule P^ — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u données par Tune des équations (1) ; on aura donc deux tangentes communes se coupant sur Taxe des y, ces deux tangentes pouvant être réelles ou imaginaires conjuguées. Dans ce cas, les deux coniques admettent quatre tangentes communes distinctes réelles ou imaginaires.
Il peut arriver que les deux valeurs de u soient égales ; on a alors
fL = 0, fu = 0,
ce qui montre que le point de contact de la tangente unique correspondante est sur Taxe des y ; par conséquent les deux coniques sont tangentes.
