Troisième cas. — L'équation (2) a deux racines doubles

A chaque racine double correspond : ou bien une tangente double touchant les deux coniques au même point, ou bien deux tangentes se coupant sur Taxe 0]j.

Les deux coniques pourront donc être : ou bien bitangentes, les tangentes aux points de contact constituant deux tangentes

communes doubles, ou simplement tangentes et admettre deux tangentes simples, ou enfin pourront avoir quatre tangentes communes distinctes se coupant deux à deux sur Oy.

Si les deux racines doubles sont imaginaires conjuguées, les deux coniques seront bitangentes, les points de contact étant imaginaires.

169. QuATRiÈ^fE CAS. — V équatioYi (2) a une racine triple et une racine simple.

Ces deux racines sont toujours réelles. A la racine simple correspond une tangente commune ; quant à la racine triple, deux cas sont à distinguer.

1° Si cette racine n'annule pas Pi — P, à cette racine ne correspond qu'une tangente, on dit que c'est une tangente triple, les deux coniques sont tangentes comme dans le cas précédent ; seulement la tangente commune est la réunion de trois tangentes. On dit que les deux coniques ont un contact du deuxième ordre, et nous verrons plus tard que les courbes se traversent.

2° Si la racine triple annule P^ — P, à cette racine correspondent deux valeurs de u et par suite deux tangentes ; l'une d'elles doit compter pour deux, et par suite les deux coniques seront tangentes au môme point à l'une de ces droites, comme on peut d'ailleurs le démontrer analytiquement de la manière suivante.

Égalons à zéro la dérivée seconde de R(î;, w) par rapport à u ; on obtient, en remarquant que pour la racine triple

on a

(Q; - or - (p; - P')(PQi - QPi/ = 0- w

Or pour que le point de contact soit le môme, on doit avoir 2w -h P P'w H- Q'

2m 4- Pi ~ pw-hq; '

et comme P = Pi, cette condition s'écrit P'" + Q'

PU-i-Q'i

OU

Tout revient à démontrer que cette quantité est racine de

l'équation

w2 -H Pw + Q = 0,

c'est-à-dire que l'on a

(Q'i - or - P (Q'i - Q')(P'i - P') + Q (P'i - P? = 0 ; ce n'est pas autre chose que la relation (4), où l'on remplace Pi par P et Qi par Q.

Cela nous montre en même temps que les deux valeurs de u sont toujours réelles.

Enfin il peut arriver que ces deux valeurs de u soient égales ; dans ce cas les deux coniques ont un contact du deuxième ordre.