V-iW^ IV^U^ U2V

W4 u| wl v,^w,^ w,u,^ u,v,^

ul v\ wl v.w^

Supposons maintenant que tous les déterminants à cinq lignes et cinq colonnes qu'on peut déduire du tableau des coefficients soient nuls, et qu'un déterminant à quatre lignes et à quatre colonnes soit différent de zéro, par exemple

V,Wt

vî

V»Wi

vî

On pourra alors résoudre les quatre premières équations par rapport à a, a\ a" et b, en fonction de b' et de b\ d'après la règle de Cramer^ ce qui donnera des expressions de la forme

a=^b'-h7.,b" , a'=x'b'^'-Ab" , a!'=^'b'-{-^lb" , b^p'-^ ^,b" ;

a, ai, ... Pi étant fonctions des quantités données i*,-, v;,Wi.

Ces valeurs, transportées dans la cinquième équation, la vérifieront, quels que soient b' et b".

Les expressions précédentes constitueront donc la solution générale des équations données ; en transportant ces valeurs dans l'équation de la conique, on obtient

b'{oiu^ -H o(.'v^ -H ol'iv^- -f- 2 pu?/; -h 2ww)

H- 6"(ajW2 4- a>2 + a>2 , ^^^^2^ -f- 2mu) = 0,

et cette équation, où b' et b" sont arbitraires, représente une infinité de coniques.

Je vais démontrer que dans ce cas, sur les cinq droites données, quatre sont concourantes.

Il résulte des hypothèses que toutes les solutions des quatre premières équations (1) vérifient la cinquième; autrement dit, que toutes les coniques tangentes aux quatre premières droites sont tangentes à la cinquième. Supposons que ces quatre premières droites forment un quadrilatère ABGD, et considérons la conique formée par les points A et C ; cette conique est tangente aux quatre premières droites; la cinquième droite devant être tangente à cette conique devra passer par l'un des points A ou G, parle point A par exemple; on verrait de môme que cette cinquième droite doit passer par l'un des points B ou D, par le point B par exemple; cette droite devrait donc coïncider avec la droite AB, ce qui est impossible parce que nous supposons les cinq droites données distinctes ; il faut donc que le point B coïncide avec le point A, c'est-à-dire que la droite (2) passe par l'intersection de (1) et de (4) et

alors la droite (5) passera par ce même point, et nous voyons que quatre des droites données seront concourantes.

176. Si sur les cinq droites, trois ne sont pas concourantes, la conique tangente à ces cinq droites est une véritable conique qui ne peut se réduire à deux points.

Si trois des droites sont concourantes, la conique tangente aux cinq droites se compose de deux points, dont Tun est le point de rencontre des trois droites, et l'autre le point d'intersection des deux autres droites.

Enfin si quatre des droites données sont concourantes, ce point de rencontre et un point quelconque de la cinquième droite forment une conique tangente aux cinq droites.

Nous verrons plus loin une démonstration analytique de ces résultats (233).

177. Théorème. — // existe une seule conique tangente à quatre droites^ le point de contact sur l'une déciles étant donné.

Prenons le point de contact donné pour origine et la tangente correspondante pour axe des X] l'équation de laconique peut s'écrire

au^ H- aV -h 2bv2v h- 2b'wu = 0.

Soient

U!X + viy -h 1 =r 0 (2 = 1, 2, 3)

les équations des trois autres tangentes qu'on suppose ne pas passer par l'origine. On aura les équations

2^'i/i H- 26^1 -h a" H- au\ = 0, ^b'uo ■+■ 20^2 H- a" -+- aul = 0, 1b' u; -+- 26v;i -H a" -H aw^ = 0.

Si l'on suppose les trois droites non concourantes, le déterminant

Mj Ul 1 U2 V2 1 Ws V^i I

est didérent de zéro; on peut résoudre les équations par rapport à b\ b et a" en fonction de a, et on obtient une seule conique répondant à la question.

178. Théorème. — // existe une seule conique tancfenie à trois droites^ les points de contact de deux d'entre elles étant donnés.

Prenons ces deux dernières tangentes pour axes, et désignons par a et p l'abscisse et l'ordonnée des points de contact.

L'équation générale des coniques tangentes à ces droites aux points donnés est (131)

En écrivant que cette conique est tangente à une autre droite, on détermine une seule valeur pour X.

179. Théorème. — // existe une seule conique ayant avec une conique donnée en un point donné un contact du deuxième ordre, et tangente à deux droites.

Prenons le point de contact pour origine et la tangente pour axe des x.

Soit

u^ -+- a"w^ -j- '^Iwiv -+- Wiou = 0

a conique donnée.

La conique cherchée aura pour équation

u^ -h a"w^ -+- 2biVW H- ""Ib'ywu = 0,

et pour que le contact soit du deuxième ordre, on doit avoir b, = b (172).

En outre, les coefficients al et b\ seront déterminés en écrivant que la conique est tangente à deux autres droites.

On démontrera de la même manière le théorème suivant

180. Théorème. — Jl existe une seule conique ayant avec une conique donnée en un point donné un contact du troisième ordre, et tangente à une autre droite.

181. Tous ces théorèmes subsistent quels que soient les tangentes et les points de contact, à distance finie ou infinie.

Ainsi, il existe une seule parabole tangente à quatre droites, une seule hyperbole asymptote à deux droites et tangente à une troisième droite ; une seule parabole tangente à trois droites, la direction de Taxe étant donnée, etc.

182. Equation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit à deux coniques.

Soient deux coniques ayant pour équations

f{u, V, îv) = au^ -+- a'v'"^ -h aV -\-^bvw H- ^b'wu -H Wuv = 0, fi{u, V, iv) = aiu^ + a[v^ + alw^ -+- '^biviv -\- '2b[iuu + 26'iwz; = 0 ;

supposons qu'elles admettent quatre tangentes communes distinctes; je dis que l'équation générale des coniques tangentes à ces quatre droites est

f{u, V, w) H- [a/"i(w, V, tv) = 0. (2)

En effet, quel que soit (ji, cette équation est vérifiée par les coordonnées des quatre tangentes communes, puisque ces coordonnées annulent f{u, v, lu) et fi{u, v, iv).

Tout revient à démontrer qu'on peut déterminer [j. en sorte que cette équation représente une conique (C) quelconque tangente aux quatre droites.

Soient Wq, v^^ Wq les coordonnées d'une tangente quelconque à la conique (C) ; écrivons que l'équation (2) est vérifiée par ces nombres ; on a

/;(mo, v^, îVq)'

d'où

l'équation (2) devient

elle représente une conique ayant cinq tangentes communes avec la conique (C) ; elle se confond avec cette conique ; il en résulte qu'on a pu disposer de [x en sorte que l'équa-

tion (2) représente la conique (G). Le théorème est démontré ^*).

183. Si les deux coniques données sont tangentes en un point A, l'équation (2) est l'équation générale des coniques tangentes aux deux coniques au point A, et tangentes aussi aux deux autres tangentes communes que ces deux coniques admettent.

En effet, quel que soit jjl, l'équation (2) représente une conique qui remplit ces conditions ; si par exemple w^, z;^, ii\ sont les coordonnées de la tangente au point A, on aura

/•(wo, v^, tv^) = 0, ^(wo, V,, w^) = 0

// fi f '

on en déduit sans peine et

fK ~ n, ~ fi '

ce qui montre que (2) représente une conique tangente au point A aux deux coniques.

Ensuite on peut disposer de [j. en sorte que l'équation (2) représente une conique quelconque (G) satisfaisant aux conditions précédentes. Il suffit comme plus haut de déterminer (x en sorte que l'équation (2) soit vérifiée par les coordonnées d'une tangente à la conique (G). Gette équation représentera alors une conique tangente à la conique (G), et ayant avec celle-ci trois autres tangentes communes; ces deux coniques coïncident (177).