Si les deux coniques données sont bitangentes, Téqua
(1) L'ensemble des coniques représentées par réqiiation (2) constitue ce qu'on appelle un faisceau tangentiel.
tion (2) est l'équation générale des coniques bitangentes à ces deux coniques. Pour le prouver, on raisonne comme au numéro précédent.
185. Si les deux coniques ont un contact du deuxième ordre en un point A, Téquation (2) est Féquation générale des coniques ayant au point A un contact du second ordre avec chacune des coniques données, et tangentes en outre à la tangente commune aux deux coniques.
Prenons le point A pour origine et la tangente en ce point
pour axe des x ; les équations des deux coniques s'écrivent
/"(w, u, w)^= u^ -\- '^bvw -4- "Ib'wu 4- a"w^ = 0,
fi{u, V, iv) = u^ H- ^bvw H- ^b[ivu-\-a'iw^ = 0,
et l'équation (2) devient
u^i-+- fx)4-2ô(l-|-(x)î;M;-+-2(6'+ ixb[)ivu-^ {a"^ iia'[)w^ = 0 ou
u^-\-2bvw-i-2— — '—^ ivu-\ !— ^ '«'2 rrr 0;
l + fJL i-hlJ-
cette équation représente, quel que soit jjl, une conique ayant à l'origine un contact du deuxième ordre avec les deux coniques données.
Cette conique est aussi tangente à la tangente commune aux coniques données.
Le raisonnement s'achève com.me dans les cas précédents en s'appuyant sur le théorème du numéro 179.
La démonstration est légèrement modifiée si le point A est à l'infini.
186. Si les deux coniques ont un contact du troisième ordre en un point A, l'équation (2) est l'équation générale des coniques ayant au point A un contact du troisième ordre avec les coniques données.
187. Théorémk. — Le lieu des j/ôles cVune droite fixe par rapport à des coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite.
Considérons deux coniques inscrites dans le quadrilatère, et ayant pour équations tangentielles
fi{u, V, lo) = 0.
L'équation générale des coniques inscrites dans ce quadrilatère sera
f{u, V, w)-h lJ-fi{ih V, Ic) =: 0.
Le pôle d'une droite fixe (^^o) ^o> ^o^ V^^ rapport à l'une de ces coniques aura pour coordonnées
ce point décrit la droite qui a pour équation
Si la droite donnée est à l'infini, nous avons le théorème de Newton (116).
188. Exercice. — Etant donnés un cercle qui a pour centre le point 0 et une parabole P, on considère toutes les coniques G inscrites dans le quadrilatère formé par les tangentes communes au cercle 0 et à la parabole P. Trouver l'enveloppe des polaires A du point 0 par rapport aux coniques G ; l'enveloppe des tangentes T aux coniques G, telles que les normales aux points de contact passent par le point 0, et l'enveloppe des axes des coniques G.
[Concours général, 1889.)
Prenons deux axes rectangulaires passant par le point 0, i)x étant parallèle à l'axe de la parabole. Les équations tangentielles du cercle et de la parabole seront respectivement
au^ + a'-y^ + 2&'^o^t + 2b"uv — 0.
L'équation générale des coniques G sera alors
f{u, V, w) — X[R2(t*2 | ^2\ ^ç2j |. ^j^2 | ^'^2 | 2b' wu -|- 2b"uv = 0 .
Soient u, v, w les coordonnées de la polaire A du point 0 par rapport à l'une des coniques G. L'équation du pôle est
UAu+vz-^ + Wf^^o,
et pour que ce pôle soit à l'origine, il faut qu'on ait
- f^ = XK^u -\- au H- b"v -f- b'w = 0,
- fv = lïV^v 4- b"u -\-a'v = 0;
en éliminant >^, on a l'équation tangentielle de l'enveloppe,
- {ufv — 'ofuj = b"{u^ — v^) ■+■ [a' — a)îw — h' vie z= 0.
Cette enveloppe est une parabole dont l'axe est parallèle à Oy. Soient maintenant u, v, w les coordonnées d'une tangente ï ; on aura
en outre la droite qui joint le point 0 au point de contact a pour coefficient angulaire ^; pour qu'elle soit perpendiculaire à T, il
tu
faut que
Éliminant >v entre (p) et (y), on aura l'équation de l'enveloppe. Cette élimination est toute faite, puisque l'équation (y) ne renferme plus X. L'équation (y) est donc l'équation de l'enveloppe des droites T. Or cette équation est la môme que l'équation (a). Il en résulte que les droites A et ï ont pour enveloppe la même parabole.
Nous n'avons pas utilisé la condition (,3) qui exprimait que la droite ï était tangente à la conique C. Il résulte de là que l'équation (a) est l'équation de l'enveloppe des droites A qui sont perpendiculaires aux droites joignant le point 0 à leurs pôles.
Les axes des coniques C jouissent des propriétés des droites a, et par suite sont tangentes à la parabole (a).
En conséquence, les trois séries de droites considérées ont la même enveloppe : c'est la parabole
h"{ii^ — -yS) -I- [a' — a)uv — h'vic = 0,
qui a son axe parallèle à Oy ; les tangentes menées à cette parabole par le point 0 sont rectangulaires ; donc la directrice de cette parabole est la droite Ox.
On vérifiera sans peine que le foyer de cette parabole est sur la droite qui joint le point 0 au foyer F de la parabole P, à une distance du point F égale à OF.
Tous ces résultats peuvent se démontrer géométriquement (Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, 3° série, tome IX, p. 35).
189. Supposons maintenant que l'une des coniques se compose de deux points P et Q ayant pour équations
P zr aw 4- pu H- -^w = 0,
c'est-à-dire que l'on ait
/■,(m, v,iv) = F.Q] l'équation
/■(w, u, lu) -h iJiPQ = 0 (3)
est l'équation générale des coniques tangentes aux tangentes issues des points P et Q à la conique (C) qui a pour équation
/"(w, V, iv) = 0.
Si le point P est situé sur la conique, les tangentes issues de ce point sont confondues ; l'équation (3) est alors l'équation générale des coniques tangentes à la conique donnée au point P et tangentes aussi aux tangentes issues du point Q à cette même conique.
On peut d'ailleurs vérifier analytiquement ce résultat en prenant le point P à l'origine, la tangente en ce point à la conique étant Taxe des x.
L'équation de cette conique sera
au^ -h a"îu^ + '^bvw -\- Wivu = 0,
et l'équation (3) s'écrit
au^ -^ a"w^- + Ibvw 4- Wivu + \i.w{(xu 4- P'« -H ^w) = 0 ;
elle représente bien une conique tangente à l'origine à l'axe des X.
190. Exercice. — On donne une ellipse E et un point P situé dans son plan. Trouver le lieu du point M tel que les tangentes menées du point P et du point M à Vellipse E forment un quadrilatère circonscriptible à un cercle.
Soient ahi^ + hH^ — ic^ = 0
l'équation tangentielle de l'ellipse E, a, ;3 les coordonnées du point P et a?, î/ les coordonnées d'un point M du lieu. L'équation générale des coniques tangentes aux tangentes issues des points P et M à l'ellipse est
\{a^u^ -^ hH^ — w^) -h {uy. + v^ ->r wYux -\- vij -^ ic) = 0.
Écrivons que l'équation représente un cercle ; on a (101)
Éliminant a entre ces deux équations, on aura l'équation du lieu. La première peut s'écrire
A(l — À)c2 + (1 >,)(aa7— ?î/) rr .^— —^ 2—.
De la deuxième on tire
et en remplaçant dans la première, on obtient
ou
C2(a,2 a2)(^2 ^2) ^^2(^2 jj2) p2/a;2 a.^^^-]^^^^ a2^,/2 p2j.
Cette équation est homogène et du deuxième degré en x^ — aet y^ — ?2 ; elle représente deux coniques dont les équations s'écrivent
x^ — oc' X- — a^
mi et m^ étant les racines de l'équation
t^m =: (a^m — p^){l -\-vi).
On voit aisément que ce sont les deux coniques homofocales à l'ellipse E qui passent par le point P.
191. Coniques homofocales. — Si les points P et Q sont les points cycliques du plan, l'équation (3) est Téquation générale des coniques homofocales à la conique (C) d'après la définition même des foyers.
Si les axes sont obliques et font Tangle 6, on sait que les points cycliques sont à l'infini dans les directions dont les coefficients angulaires satisfont à Téquation
m^ -h 2m cos 0 -i- 1 =0.
Pour qu'une droite ux-}- vy-hto = 0 passe par l'un de ces
u points, il faut que son coefficient angulaire satisfasse
à cette équation, c'est-à-dire que l'on ait
u^-{-v^ — 2wu cos 6 = 0;
telle est Téquation de Tensemble des points cycliques. Il en résulte que l'équation générale des coniques homofo- ^ cales à la conique (C) est
f{u, V, iv) -\- fjL(u^ -h V- — ^uv cos 6) = 0.
Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, cette équation devient
f{u, D, w) -h ix{u^ -h v^} =r 0.
. Supposons que la conique soit une ellipse rapportée à ses axes, c'est-à-dire que
l'équation des coniques homofocales est
OU
et l'équation ponctuelle correspondante est
h TT- 1=0,
résultat connu.
192. On peut considérer des coniques homofocales comme inscrites dans un quadrilatère dont deux sommets opposés sont les points cycliques.
Par conséquent le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à des coniques homofocales est une droite (187) qui a pour équation
et Ton vérifie aisément que cette droite est perpendiculaire à la droite donnée.
193. Coniques bitangentes à une conique donnée. — Supposons que dans l'équation (3) du numéro 189 les deux points
fk
P et Q soient confondus ; cette équation devient
/•(w, V, z^)-h{JiP2 = 0. (4)
Nous allons démontrer que cette équation est l'équation générale des coniques bitangentes à la conique (C), les points de contact étant ceux des tangentes menées par le point P à cette conique.
Tout d'abord on voit que Téquation (4) est satisfaite par les
valeurs de w, v, lo qui annulent à la fois /"(w, u, lu) et P,
c'est-à-dire par les coordonnées des tangentes menées du point
P à cette conique. Je dis de plus que ces tangentes communes
ont mêmes points de contact dans ces deux coniques; en effet,
posons
o{u, V, w) = f[u, V, îv) 4- i^PS
P ^ aw H- [3z; -h yZf ;
on aura
c?L = A -f- 2}.Pa,
cp; = A( + 2{.Pp,
cp;„=/"^+2HtPY, et si on remplace dans ces identités m, u, w par les coordonnées des tangentes menées par le point P, on a
t'u = fi,
?'v = fvi
ce qui montre que ces tangentes touchent les deux coniques aux mêmes points.
On verra ensuite aisément qu'on peut déterminer jji, en sorte que l'équation (4) représente une conique quelconque bitangente à (C), la corde des contacts étant la polaire du point P ; on en conclut que (4) est bien l'équation générale cherchée.
194. Considérons maintenant un quadrilatère défini par les équations de ses sommets,
A et G étant opposés ainsi que B et D. On démontrera aisé-
ment que l'équation générale des coniques inscrites dans ce
quadrilatère est
ACh-hiBD =:0.
Si Ton suppose, comme dans Texercice du numéro 15o, que le quadrilatère soit un parallélogramme ayant son centre à l'origine et ses côtés parallèles aux axes de coordonnées, les sommets auront pour équations
A = uoL -i- v^ -{- yy = 0, C = — itx — v'^ -\-ic = 0, B =: wa — vp -f- 10 = 0, D = — ucc -\- v^ -i- 10 =: 0 ; l'équation générale des coniques inscrites sera donc {uoL -j- v^ -{- io){ — ua. — v'^-\-io) + fj.(wa — v'^-+-w){ — uoL-i-vp-{-w) =: 0
ou
w^ — {u%-hv?)^ -hix[w^ -- ux — v^)f = 0,
(1 + ii)[ic^ — u^0L^ — v^P] — 2uv^^{\ —ij.)=z0; en posant
