OMBILICS ET DROITES QUI ONT MÊME PÔLE PAR RAPPORT A DEUX CONIQUES

201. On appelle ombilic relatif à deux coniques un point de rencontre de deux tangentes communes.

Comme, en général, deux coniques admettent quatre tangentes communes, les six sommets du quadrilatère formé par ces tangentes seront des ombilics. Deux sommets opposés de ce quadrilatère constituent ce que nous appellerons deux ombilics correspondants ou un couple d'ombilics ; il en résulte qu'un couple d'ombilics peut être considéré comme une conique singulière inscrite dans le quadrilatère des tangentes communes.

Cette remarque va nous permettre de déterminer analytiquement les ombilics.

Soient, en effet,

/(m, V, w) = au- -+- a'v^-^ a!'ic^^ Ibvw h- Wwu^W'uv = 0, (C) fi{u, v,w) = aiU^-{-a'iV^-ha^io^-h2biViv-\-^b{wu-\-^bluv = 0 (Cj)

les équations des deux coniques.

L'équation générale des coniques tangentes aux tangentes communes à (C) et à (Ci) est

/•(w, u, w) -H lfi(u, u, îo) = 0, (1)

^t cette équation représentera deux ombilics correspondants

OMBILICS 227

si le discriminant du premier membre est nul, c'est-à-dire si

Ton a

a -h \ax b" -h \b'[ b' -h \b'i

a(X) = b"-^U'[ a' -^la[ b-{-Uy =0. (2)

b'^W, b-tUi a"-{-la';

Cette équation est du troisième degré par rapport à À ; comme à chaque racine de cette équation correspond un couple d'ombilics, on voit bien que les deux coniques admettent en général six ombilics qui seront déterminés si Ton peut résoudre l'équation (2).

Connaissant les ombilics, on en déduit aisément les tangentes communes ; la recherche de ces tangentes est donc ramenée à la résolution d'une équation du troisième degré, au lieu de l'équation du quatrième degré que nous avons discutée dans le chapitre X.

Mais la considération des ombilics etl'étude de l'équation (2) présentent un intérêt plus puissant que celui qui s'attache à la simplification toute théorique du calcul des coordonnées des tangentes communes.

Nous allons montrer en effet dans ce qui va suivre que de la nature -des racines de l'équation (2) on peut déduire la nature des tangentes communes aux deux coniques.

Auparavant il est utile de rappeler qu'étant donnée une équation du second degré

o(î/, V, lu) = 0

dont le discriminant du premier membre est nul, cette équation représente deux points distincts si tous les mineurs du discriminant ne sont pas nuls.

Les coordonnées de la droite qui joint ces deux points vérifient les équations

cp'„ = 0, o(, = 0, cp(„ = 0,

lesquelles n'admettent qu'un seul système de solutions.

En outre l'équation ponctuelle correspondante représente une droite double, qui est précisément la droite joignant les deux points.

Si maintenant tous les mineurs du discriminant de la fonction cp(w, V, w) sont nuls, Téquation

cp(w, u, iv) = 0

représente deux points confondus ou un point double, et les équations

cp;, = 0, cpi = 0, o[, = 0

ont leurs premiers membres proportionnels et sont vérifiées par les coordonnées d'une droite quelconque passant par le point double.

202. Désignons par Ax, A-,, A';, B-,, B-^, B'i les coefficients

de fl4->^fli , a'-hla\ , . . . , b"-{- lb'[ dans le développement du déterminant a(X); on aura les formules (93)

^a-^la,)^(l) = A'X-Bt (64-X6,)A(X) = B^B^-AA (a'-f-Xa;)AlX) = A'^A,-Bl^ {b' -^U\)^{•k) = B'iB^- MK, \ (3) (a"-hX<)A(X) = A-X— B:^ [b" -+-U'[)^{1) = B,B1-A::b^

Ces équations nous montrent que si une racine X' de l'équation (^) annule tous les mineurs de A(X), les seconds membres des équations (3) seront divisibles par (X-r-X')^, et comme X' ne peut annuler toutes les quantités a-+-Xai, <^H-Xai, ... , car alors les coniques coïncideraient, on en conclut que X' est au moins racine double de l'équation (2).

La réciproque n'est pas vraie ; toute racine multiple de l'équation (2) n'annule pas nécessairement les mineurs du déterminant A(X).

203. Il résulte de ce qui précède qu'à toute racine simple de l'équation (2) correspond un couple d'ombilics distincts.

A toute racine multiple correspond soit un couple d'ombilics distincts, soit un ombilic double.

204. On retrouve la même équation (2) quand on cherche les droites qui ont même pôle par rapport aux deux coniques (C) et (C).

OMBILICS 229

En effet, pour qu une droite {u, v, w) ait môme pôle par rapport aux coniques (G) et (Ci), il faut et il suffît que les équations

u/'^ + vA^ + w/'; = 0, u/';u4-v/';,4-wA,, = 0

représentent le môme point, c est-à-dire que l'on ait f f f

I u IV / 10

[lu fiv /i/o

ou, en désignant par — X la valeur commune de ces rapports,

Pour que ces équations admettent des solutions en w, u, w, il faut que le déterminant A(X) soit nul.

Si une racine )/ n'annule pas tous les mineurs, les équations (4) ont un seul système de solutions ; elles déterminent une seule droite ayant même pôle, c'est la droite qui joint les ombilics correspondant à la racine V.

Si au contraire la racine X' annule tous les mineurs de A(X), les équations (4) ont leurs coefficients proportionnels ; elles déterminent une infinité de droites passant par l'ombilic double relatif à la racine X', et toutes ces droites ont même pôle par rapport aux deux coniques.

205. Théorème. — Les droites doubles '*) i^elalives à deux racines différentes de V équation (2) sont conjuguées par rapport à toutes les coniques du faisceau (1).

Soient, en effet, Wi, Ui, iV], et Wj, f2, W-i les coordonnées de ces droites, et X^, Xg les racines correspondantes ; on a

(1) Il est naturel d'appeler droite double la droite joignant deux ombilics correspondants, puisque le premier membre de Téquation ponctuelle correspondante est carré parfait. Une droite ayant même pôle dans les deux coniques sera donc une droite double et inversement.

du^ dui

Multiplions les trois premières équations de gauche par u^, V2, W2 respectivement et ajoutons-les membre à membre ; opérons de même sur les trois équations de droite après les avoir multipliées par Wi, v-^, iv^ ; on obtient

H 4- XjK = 0,

H + XoK = 0,

en posant, pour simplifier récriture,

df df df

UU2 CfV2 UW2

df, df, df,

OUt OV2 OW2

On déduit de là

puisque X, est différent de A2.

On a alors, quel que soit X,

H-hXK = 0, ce qui montre que les deux droites sont conjuguées par rapport à la conique

Cette conclusion subsiste si à l'une des racines, h, par exemple, correspond un ombilic double ; dans ce cas une droite quelconque passant par ce point est conjuguée de la droite joignant les ombilics relatifs à X2 par rapport à toutes les coniques du faisceau.

206. Théorème. — Les couples d'ombilics relatifs à deux racines différentes de l'équation (2) n'ont pas de point commun.

OMBILICS 231

Je dis qu'on ne peut avoir

P, Q, R désignant des fonctions linéaires. De ces relations on tirerait

les deux coniques se composeraient alors chacune de deux systèmes de points, et ces deux systèmes auraient un point commun. Dans ce cas le premier membre de Téquation (1) se réduirait à un produit de deux facteurs, quel que soit X, et Téquation (2) serait identiquement satisfaite.

Le théorème subsiste si à Tune des racines, Xi par exemple, correspond un ombilic double P ; aucun des deux ombilics relatifs à Xo ne peut coïncider avec le point P.

207. Théorème. — A toute racine simple de l'équation (2) correspondent deux ombilics distincts et la droite qui les joint n'est tangente à aucune conique du faisceau (1).

Si à une racine multiple correspondent deux ombilics distincts, la droite qui les joint est tangente au même pointa toutes les coniques du faisceau ( 1 ).

On sait que la dérivée d'un déterminant dont les éléments sont fonctions d'une variable est égale à une somme de déterminants qu'on déduit du déterminant donné en remplaçant successivement dans chaque colonne les éléments par leurs dérivées.

On a alors

tti b"^Ab'[ b'-hlbi ii'[\)= b'[ a'H-Xai b-^lb, b\ b-hU^ a"-^la'[

qu'on peut écrire

A'(X) = a,Ax-+-a;A-i-haM+26iBx4-2éiB^^2ôïB:

a-hXai b'i b'-hU[ b"-hUl a\ b-hUi b'-hU[ b, al'-^la!'.

a-t-Xai b"^lb\ b\ b"^W[ a'-f-Xa; b^ b'-hlb[ b-hU^ a\

En différentiant de même les trois déterminants dont la somme constitue a'(>), on a

I A"(X) = Ai(a H- Xai) + k[{a' -h \a[) -\- Aî(a" -f- la",)

où Al, Al, . . ., B'{ désignent les mineurs du discriminant de la forme /*i(m, Vy w).

Cela posé, soient Wi, Ui, w^ les coordonnées de la droite joignant les ombilics relatifs à la racine Xi de Féquation (2); on a, [JL étant un nombre différent de zéro (26),

ul = nAx^, v\ = fjiA^,, w\ = [jiAx^,

î^i^i = [jlBx,, «^iMi == [jlB-1, WiUi^flBx,;

on en déduit

A(wi, Ul, w;i) = !J-A'(^i).

Comme on a aussi

/(wi, Ul, z(;i) + Xi/;(mi, u„ Wy) = 0,

on en déduit

/■(wi, Ul, zui) = — fxXiA'(Xi),

et par suite, on a, quel que soit X,

En conséquence, si Xi est racine simple, a'(Xi) n'est pas nul ; il en est de même du premier membre de cette dernière relation; par suite, la droite (w^, Vl,w^) n'est tangente à aucune conique du faisceau ^^\

Si au contraire X, est racine multiple, a'(Xi) est nul et la droite Wi, Ui, Wi est tangente à toutes les coniques du faisceau ^^\

Le point de contact est le même pour toutes les coniques puisque la droite a même pôle par rapport à ces coniques.